Søket gav 767 treff

av Markus
21/06-2020 22:47
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Gruppeteori
Svar: 2
Visninger: 3725

Re: Gruppeteori

La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$. La $I=\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}$ og $H=\left\{x \in G : f^2(x)=x \right \}$. Da er $I\subseteq H$: La $x\in I...
av Markus
20/06-2020 00:02
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Endelig kropp
Svar: 1
Visninger: 3483

Endelig kropp

La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.
av Markus
19/06-2020 23:58
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Gruppeteori
Svar: 2
Visninger: 3725

Gruppeteori

La $G$ være en endelig gruppe. La $f: G \to G$ være en homomorfi slik at $\left|\left\{x \in G : f(x)=x^{-1} \right \}\right| > \frac12 |G|$. Vis at $f$ er en automorfi av $G$.
av Markus
18/06-2020 23:57
Forum: Åpent Forum - for diskusjon
Emne: Bokanbefaling
Svar: 9
Visninger: 18259

Re: Bokanbefaling

Ble litt nysgjerrig på denne da jeg var og er fortsatt stor fan av Kalkulus og oppfølgeren Flervariabel Analyse med Lineær Algebra av Lindstrøm. Det faget dere henviser til på UiO - hva er måler med det og hva handler det om? Skummet kjapt gjennom innholdsfortegnelsen til pdfen som lå ut gratis og d...
av Markus
18/06-2020 23:51
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Kompleks analyse
Svar: 2
Visninger: 3752

Re: Kompleks analyse

La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$. Her er jeg på gyngende grunn! Har tatt MAT2410 på UiO (for noen år siden). Altså hv...
av Markus
07/06-2020 19:14
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Kompleks analyse
Svar: 2
Visninger: 3752

Kompleks analyse

La $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ være en hel (dvs. kompleks deriverbar på hele $\mathbb{C}$) funksjon. Dersom $f$ er injektiv, vis at det finnes $a,b \in \mathbb{C}$ slik at $f(z)=az+b$ for alle $z \in \mathbb{C}$.
av Markus
23/12-2019 12:02
Forum: Videregående skole: VG1, VG2 og VG3
Emne: tallteori
Svar: 2
Visninger: 1155

Re: tallteori

Lemma: Hvis $\gcd(m,n)=1$ er $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$. Bevis. Siden $\gcd(m,n)=1$ er $\mathbb{Z}_{mn}$ og $\mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_n$ isomorfe som ringer. Dermed har de like mange enheter. Enheter av en ring $R$ danner en multiplikativ gruppe $U(R)$, og i tilfellet $\mathbb{Z}_{\e...
av Markus
23/08-2019 23:53
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: IMC 2019
Svar: 4
Visninger: 4265

Re: IMC 2019

Modulo 4 fås $A^4\equiv 3I$, så ved å ta determinanten fås $\det(A)^4\equiv 3^n$. Siden $n$ er odde er $3^n\equiv 3\pmod 4$, men den diofantiske ligningen $x^4\equiv 3\pmod 4 $ har ingen løsninger, og det er dermed ingen oddetall n som er løsninger på problemet. PS: Det mest forvirrende med denne v...
av Markus
16/08-2019 00:23
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: En hoppende frosk
Svar: 2
Visninger: 3363

Re: En hoppende frosk

mingjun skrev:Karakteriser en usynlighetsfrosk med vektoren $(a,b)$ der hvert element henholdsvis angir startsposisjon og retning ($a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}_2$). Det er nå klart at det er en tellelig mengde med usynlighetsfrosker, så enhver frosk kan skytes på endelig antall trekk.
Selvfølgelig rett!
av Markus
16/08-2019 00:18
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Kvadratiske tall
Svar: 8
Visninger: 6194

Re: Kvadratiske tall

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1. Dette betyr at alle partall > 2 er kvadrat...
av Markus
11/08-2019 23:30
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: Kvadratiske tall
Svar: 8
Visninger: 6194

Kvadratiske tall

Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.
av Markus
11/08-2019 23:28
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: En hoppende frosk
Svar: 2
Visninger: 3363

En hoppende frosk

Usynlighetsfrosken er en svært eksotisk froskeart som man kan finne dypt inne i den matematiske jungelen. I denne jungelen finnes det en uendelig rekke med liljeblader indeksert av $\mathbb{Z}$, og frosken sitter på en av disse bladene. Usynlighetsfrosken har et spesielt hoppemønster den følger til ...
av Markus
11/08-2019 23:16
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: IMC 2019
Svar: 4
Visninger: 4265

Re: IMC 2019

La $p_n$ betegne den minste primdivisoren til $n$ som ikke er $1$. For sammensatte tall $n$ som ikke er en potens av $p_n$ kan vi skrive $$a_n\leq \frac{n}{p_n} \leq \frac{n}{2}.$$ La $C' \in C$ være mengden av alle primttallspotenser i $C$, og la $\bar{C}=C\backslash C'$. Summen over $\bar{C}$ kon...
av Markus
03/08-2019 15:04
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: IMC 2019
Svar: 4
Visninger: 4265

IMC 2019

1) Definer $a_n$ som den minste $k \in \mathbb{N}$ slik at $n \mid k!$. La $\mathcal{C} = \{4,6,8,9,10,12,\dots\}$ være mengden av alle sammensatte tall. Konvergerer eller divergerer rekken under? $$\sum_{n \in \mathcal{C}} \left (\frac{a_n}{n} \right )^n$$ 2) Finnes det et positivt oddetall $n$ sli...
av Markus
03/08-2019 14:38
Forum: Kveldens integral og andre nøtter
Emne: IMO 2019
Svar: 11
Visninger: 9111

Re: IMO 2019

Gratulerer så mye med bronsen mingjun! Svært imponerende!