Ny oppgave:

For hvert par av heltall (i,j) velger vi et punkt [tex]P_{i,j}=(x,y)[/tex] på det kartesiske planet slik at [tex]i<x<i+1[/tex] og [tex]j<y<j+1[/tex]. Finn alle reelle tall [tex]c>0[/tex] slik at firkanten [tex]P_{i,j}P_{i+1,j}P_{i+1,j+1}P_{i,j+1}[/tex] har omkrets mindre enn c for alle heltall i og j.

Løsning: La \omega være omsirkelen til ABC. La X=\omega \cap CD og Y=\omega \cap BE . Påstand: XFLY er syklisk Bevis: Følger av konversen til Reims teorem på FL, BC og \omega . Påstand: XDAI og YPAE er syklisk Bevis: Det følger av vinkeljakt: \measuredangle DIA=\measuredangle CBA =\measuredangle CXA...

Ny oppgave:
La [tex]f:\mathbb{Z} \rightarrow \{1,2,...,10^{100}\}[/tex] være en funksjon slik at
[tex]gcd(f(x),f(y))=gcd(f(x),x-y)[/tex], for alle heltall x og y.
Vis at det eksisterer positive heltall m og n slik at [tex]f(x)=gcd(m+x,n)[/tex] for alle heltall x.

Løsning: La J være innsenteret i ABC. La K=AS\cap BC , D=FC\cap IB , T=FI\cap SL og E=FI\cap BC Påstand: FIKL er syklisk Bevis: D er A-utsenteret. Det er velkjent at A, B og C hør føttene til høydene i DFI. Derfor er FIBC syklisk og omsirkelen til ABC er nipunktssirkelen i DFI. Det følger at S er mi...

Ny oppgave: La a, b, c og d være odde innbyrdes relativt primiske positive heltall. For positive heltall n definerer vi funksjonen f(n)=\left \lfloor \frac{n}{a} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n}{b} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n}{c} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rflo...

Løsning: min(f(2020))=216 max(f(2020))=584 Bevis: La p_n være det n-te primtallet. Vi ser på verdiene av f(p_i) . Siden 2020=2^2\cdot 5\cdot 101 , er f(2020)=f(2)\cdot f(5)\cdot f(101)=f(p_1)\cdot f(p_3)\cdot f(p_{26}) For å finne den minste verdien til f(2020) definerer vi funksjonen f(p_i)=i+1 . f...

Ny oppgave:
La [tex]P(x)\in \mathbb{R}[x][/tex] slik at [tex]P(x)>0,\forall x\geq 0[/tex]. Vis at det eksisterer et positivt heltall n slik at [tex](1+x)^n\cdot P(x)[/tex], er et polynom med ikke-negative koeffisienter.

Løsning: La E og F være føttene til høydene fra B og C. Påstand: AP\cap EF\cap BC=R Bevis: Det er velkjent at BCEF er syklisk. Det holder dermed å vise at APFE er syklisk fordi R dermed er potenssenteret til \omega , (BCEF) og (APFE). Det er velkjent at AFEH er syklisk og at HM skjærer \omega i A', ...

Ny oppgave:
La ABC være en spisssvinklet trekant, der [tex]AC\neq BC[/tex]. La M være midtpunktet på AB, la H være ortosenteret, la D være foten til høyden fra A og la E være foten til høyden fra B. La m være linjen gjennom C som er ortogonal på MH. Vis at m, AB og DE skjærer i ett punkt.

Løsning: Vi ønsker først å approksimere røttene til polynomet. Siden alle polynom er kontinuerlige kan vi bruke skjæringssetningen. La P(x)=x^3-3x^2+1 . Vi ser at P(-\frac{6}{10})<0 , P(-\frac{1}{2})>0 , P(\frac{6}{10})>0 , P(\frac{7}{10})<0 , P(2)<0 og P(3)>0 . Av skjæringssetningen har vi dermed a...

Ny oppgave: a) La A være mengden av ordnede tupler (i, j, k) av positive heltall der i+j+k=17 . Regn ut \sum_{(i,j,k)\in A}ijk . b) Vi definerer funksjonene f_n:\mathbb{N}^{n}\rightarrow \mathbb{N} og g_n:\mathbb{N}^{n}\rightarrow \mathbb{N} slik at for (a_1,a_2,...,a_n)\in\mathbb{N}^n er f_n(a_1,a_...

Løsning: La I_B og I_C være B- og C-utsenteret. La E og F være tangeringspunktene mellom innsirkelen og sidene AC og AB. Påstand: \Delta DEF\sim \Delta I_AI_BI_C Bevis: I_A er skjæringen mellom de ytre vinkelhalveringslinjene til \angle B og \angle C . Vi har dermed at \angle I_CI_AI_B=\angle BI_AC=...

Ny oppgave: vi definerer f:\left \langle 0,1 \right \rangle\rightarrow \left \langle 0,1 \right \rangle , som f(x)=\begin{cases} x+\frac{1}{2} & \text{ if } x<\frac{1}{2} \\ x^2 & \text{ if } x\geq \frac{1}{2} \end{cases} La a,b\in \mathbb{R} slik at 0<a<b<1 . Vi definerer følgene {a_n} og {...

Løsningene er f(x)=2x-1 , f(x)=x^2-1 og f(x)=-x-1 . Bevis: Vi skriver P(x,y) for f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+2xy+1. P(x,0): f(x)(f(0)+1)=f(0)+1 Åpenbart er ikke f(x)=0 for alle x mulig. Dermed er f(0)=-1 . Videre har vi av P(1,-1): f(0)+f(1)f(-1)=f(-1)-1 Det betyr at f(1)=1 eller f(-1)=0 . Vi antar først ...

Ny oppgave: (vanskelig) La ABC være en spissvinklet trekant. La D være foten til høyden fra A. La P være et varierende punkt slik at vinkelhalveringslinjene til \angle PBC og \angle PCB skjærer hverandre på linjestykket AD. La E være skjæringen mellom AC og vinkelhalveringslinjen til \angle PBC og l...