Ny oppgave: La ABC være en trekant med omsirkel \omega og omsenter O. La A_1 være foten til høyden fra A og la A_2 være skjæringen mellom AO og BC. La \Omega_A være sirkelen gjennom A_1 og A_2 som tangerer \omega i T_A , der T_A og A ligger på hver sin side av BC. Vi definerer B_1,B_2,C_1,C_2, T_B, ...

La \measuredangle være symbolet for rettede vinkler. Påstand: BE=BR=BC Bevis: Av sykliske firkanter har vi at \measuredangle ACE=\measuredangle RCS=\measuredangle RBS=\measuredangle DBA Det betyr at BA er vinkelhalveringslinjen til \angle RBE og midtnormalen til ER. Videre bruker vi at \measuredangl...

Ny oppgave:
La a og b være to positive heltall. Vis
[tex]\sum_{k=0}^{b-1}\left \lfloor \frac{ka}{b} \right \rfloor=\sum_{k=0}^{a-1}\left \lfloor \frac{kb}{a} \right \rfloor[/tex]

Anta uten tap av generalitet for motsigelsens skyld at a=b\neq c . Vi har dermed b^n+pc=a^n+pb=b^n+pb . Dette impliserer b=c , en motsigelse. Vi antar fra nå for motsigelsens skyld at a,b og c er ulike heltall som tilfredsstiller likningene. Fra likhetene i oppgaven får vi a^n-b^n=p(c-b) b^n-c^n=p(a...

Beklager regnefeil på min side. Den er nå rettet opp og beviset ble forenklet som Mattebruker sier.

Ny oppgave:
La [tex]x_0,y_0[/tex] være positive heltall. Vi definerer [tex]x_{i+1}=x_i+\left \lfloor \sqrt{y_i} \right \rfloor[/tex] og [tex]y_{i+1}=y_i+\left \lfloor \sqrt{x_i} \right \rfloor[/tex] vis at det eksisterer et positivt heltall n slik at [tex]x_n=y_n[/tex].

Ny oppgave https://typst.app/project/ryTJAWCnpC8Eb2RJgasng7 Vi viser først \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}<\frac{1}{x^k} . Dette følger av at 0<x,y<1: \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}< \frac{1}{x^k}\Leftrightarrow 0<x^{4k}-x^{3k}-x^k+1=(x^k-1)^2(x^{2k}+x^k+1) . Vi har dermed \left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}...

Oppgaven ovenfor:
La [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] og la [tex]x,y\in \mathbb{R}^{+}[/tex] slik at [tex]x^{n}+y^{n}=1[/tex].
Vis følgende ulikhet:
[tex](\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}})(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})<\frac{1}{(1-x)(1-y)}[/tex]

Rettelse:
Lil-flip har gjort meg oppmerksom på en feil i løsningen min på nå [tex]\alpha =0[/tex].

Det er kanskje umulig å løse likningen for [tex]\alpha =0[/tex].

Da har du funnet alle løsningene til funksjonallikningen. 8-) Jeg innser nå at \alpha =0 tilfellet ikke er så simpelt som jeg trodde. Oppgaven ekskluderer originalt \alpha =0 , men jeg la det til. Det er kanskje omtrent like mye arbeid for \alpha =0 og \alpha \neq 0 . Derfor vil jeg erklære oppgaven...

For å få a=b+1 har du vel først [tex]a^{2}=ab+a[/tex]. Når du deler på a, antar du at [tex]a\neq 0[/tex]. Hva om a=0?

Problemet er at (*) f(z)=z+zf(0) holder kun for z i verdimengden til f. Dette er en typisk feil. Vi vet nemlig ikke om f er surjektiv. Et eksempel på en funksjon som tilfredsstiller (*) er f(x)=\begin{cases} & x\text{ if } x<4 \\ & 1\text{ if } x\geq 4 \end{cases} . Du ønsker å vise at slike...

Ok, kanskje en kort innføring i funksjonallikninger er passelig. Hvem vet om det er flere personer uten erfaring innen funksjonallikninger som leser dene tråden. Funksjonallikninger løses nesten alltid med substutisjoner pluss enkelte lure triks. Jeg går ikke over disse triksene, men jeg kan liste n...

Det stemmer. Minner på nåværende oppgave.

lfe skrev: ↑28/03-2024 12:32 Ny oppgave:
La [tex]\alpha[/tex] være et reelt tall. Finn alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] som tilfredsstiller likningen
[tex]f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)+\alpha xy[/tex]
for alle [tex]x,y\in \mathbb{R}[/tex].

Hei, Jeg skriver i løsningen min at \measuredangle er symbolet for rettede vinkler. Vinkeljakten jeg gjør er altså ikke vanlig vinkeljakt. Vi definerer rettede vinkler slik: La l og m være to linjer som skjærer hverandre. \measuredangle (l,m) er vinkelen målt mot klokken slik at vi starter i l og sl...