Vis at for alle positive heltall $n$ eksisterer det et irredusibelt monisk heltallspolynom $P$ som har ingen koeffisienter lik 0, grad $n$ og som tilfredsstiller: $|P(x)|$ er ikke et primtall for alle heltall $x$.

Finn alle polynomer $P$ med heltallskoeffisienter av grad $n>1$ slik at
\[
P(x) = \prod_{k=0}^{n-1} (x-P(k))
\]

RANDOM_USER er sentrum av moshpiten ved AOPS sin ukentlige fest. Ved festen kjenner to personer hverandre eller ikke. Vi vet at følgende stemmer for alle personer $A$ ved festen:

- $A$ kjenner minst én person på festen.

- $A$ kjenner 3.2 ganger så mange gutter som jenter på festen.

Hva er det ...

Ny oppgave:
La trekant $ABC$ ha $A$-utsenter $J_a$. La $X_b$, $D$ og $X_c$ hhv. være tangeringspunktene mellom $A$-utsirekelen og $AB$, $BC$ og $AC$. Vi definerer $E$, $F$, $Y_a$, $Y_c$, $Z_a$ og $Z_b$ likedan. La $H$, $O$ og $I$ hhv. være ortosenteret, omsenteret og innsenteret til $ABC$.

a) La $X ...

Vi ser at den minste primfaktoren til tallene i følgen er avtagende. Det eksisterer dermed et punkt fra hvor alle tall i følgen har samme minste primtallsfaktor $p$. Vi kan derfor UTAG anta at $p\mid a_i$ for alle $i$ og at $a_1$ er odde, der $p$ er minste primtallsfaktor. Det er nå to muligheter ...

$\textbf{Påstand: }$ La det være 432 punkter jevnt spredt om en sirkel. La $A$ og $B$ hhv. være to disjunkte mengder. Kan vi rotere punktene i $A$ om sirkelen slik at overlappene mellom punktene i $A$ og $B$ minst er lik $\lceil \frac{|A|\cdot |B|}{431} \rceil$.
$\textit{Bevis. }$ Dette følger av å ...

La $DEF$ være utsenter trekanten til $ABC$. Det er velkjent at $X$ og $Y$ er tangeringspunktene til utsirklene og at $PX$ og $PY$ hhv. er normalen fra $E$ på $AC$ og $F$ på $AB$. $ABC$ er den ortiske trekanten i $DEF$. Det er velkjent at trekantene dannet av to av føttene til høydene og et hjørne er ...

La $y = \max \sqrt{x_i x_{i+1}}$. Vi kaller $i$ type 1 hvis $x_i \leq y$ og type 2 hvis $x_i > y$. Av ekstremaliteten til $y$ kan vi ikke ha to påfølgende tall av type 2. Siden $n$ er odde kan vi heller ikke ha at ingen tall har et nabotall av samme type. Dermed eksisterer det to tall $k$ og $k+1 ...

Vi definerer følgen $\{ a_n\}_{n=1}^\infty$ rekursivt. La $a_1 = a_2 = 1$ og $a_{n+2} +a_n= 14a_{n+1}$ for $n\geq 1$. Vis at alle primtall $p$ som deler en av tallene i følgen er kongruent med $1$ modulo $12$,

Ny oppgave:
Tristan Amadeus ELSKER iskrem. Han har $x$ store beger han ønsker å ha iskrem i. La $y$ og $z$ være to positive heltall, der $y\geq 6$. Anta at
\[
x \leq 2^{yz} \cdot \left ( \sum_{i=0}^{z-1} \binom{yz}{i} \right ) ^{-1}
\]
Vis at dersom Tristan Amadeus har tilgang til $yz$ ulike smaker ...

Ny oppgave:
La $S$ være en mengde av $2027$ punkt i planet slik at avstandene mellom to punkter er innbyrdes ulike. Big unc XOR2004 elsker farger. Han skal farge hvert punkt i $S$ slik at for et punkt $P\in S$, er fargen til $P$ lik fargene til punktene i $S$ som ligger nærest $P$ og lengst vekke ...

La sidelengden til trekanen være $d$. Vi har da at arealet til trekanten er lik $\frac{\sqrt 3}{4} d^2 = \sum_{i=1}^n \frac{\sqrt 3}{4} a_i^2$. Det betyr at $d^2 =\sum_{i=1}^{n} a_i^2$. Videre er det som skal vises i oppgaven ekvivalent med
\[
\begin{align}
\left ( \sum_{i=1}^{n} \epsilon_i a_i ...

Svaret er 0, 1, 3, 5 og 11.
Trekker vi 2 fra begge sidene av likheten, får vi
\[
\frac{q-p+1}{(p+1)q} = \frac{4}{n+2}
\]
Dette gir oss at $2\mid q-p+1$ som betyr at en av av $p$ eller $q$ er lik 2.
Først anta at $q=2$. Vi har da
\[
\frac{3-p}{2(p+1)}=\frac{4}{n+2}
\]
Siden høyresiden er større enn 0 ...

La $Q_A$ og $Q_B$ hhv. være A- og B-køpunktet. La $L $ være midtpunktet på $AC$. Det er velkjent at $MH$ skjærer $Q_A$ og at $LH$ skjærer $Q_B$. Her er $MH=LH$ av at $H$ er midtpunketet på $CF$, som betyr at $MH\parallel AB \parallel LH$. Videre impliserer dette også at $AQ_B$ og $BQ_A$ er diametere ...

Ny oppgave:
Vis at det er uendelig mange odde heltall $n$ slik at $n!+1$ er et sammensatt tall.