Ny oppgave:
Gitt positive heltall $a$, $b$, $m$ og $k$, der $k>1$. Vis at det eksisterer uendelig mange positive heltall $n$ slik at $\gcd(\phi^m(n), \lfloor \sqrt[k]{an+b} \rfloor)=1$.

Algebraisk tallteori: :twisted: :twisted:
Over tallkroppen $\mathbb{Q}$ definerer vi S-enhet, der S er en mengde primtall, til å være mengden reduserte rasjonale tall der alle primtallsfaktorene til både nevener og teller er i S. Det er et velkjent, men ikke-trivielt, resultat at likningen $x+y=1 ...

Ny oppgave:
Finn alle positive heltall $m,n$ som tilfredsstiller følgende:

• $a\mid b^4+1$
• $b\mid a^4+1$
• $\lfloor \sqrt a \rfloor = \lfloor \sqrt b \rfloor$

Først viser vi konstruksjon for uendelig mange gode tall.
$\textbf{Påstand:}$ Alle primtall $p\equiv 3\pmod 4$ er gode.
$\textit{Bevis:}$ $-1$ er ikke en kvadratisk rest. Det følger at nøyaktig én av $a$ og $p-a$ er en kvadratisk rest og at de har ulik paritet. La $b_i\equiv -a_i \pmod p$ Vi kan ...

Ny ulikhet:
La $a,b,c,d$ være positive reelle tall slik at $abcd=\frac{1}{4}$. Vis følgende ulikhet og finn likhetstilfelle(ne):
\[
\left ( 16ac+\frac{a}{c^2d}+\frac{16c}{a^2d}+\frac{4}{ac}\right ) \left ( bd +\frac{b}{256d^2c}+\frac{d}{b^2a}+\frac{1}{64bd}\right ) \geq \frac{81}{4}
\]

Legg merke til at kravene i oppgaven er ekvivalent med: Vi har $n$ binærstrenger av lengde $m$ som all innbyrdes har hammingavstand større eller lik $m-k$. For hver binærstreng $s^{(i)}$ definerer vi korresponderende vektorer $v^{(i)}\in \{-1,1\}^m$ for $1\leq i \leq n$, der $v_k^{(i)}$ er lik $-1 ...

Ny oppgave:
Et hyperrektangel er en mengde i $\mathbb{R}^n$ som kan skrives som det kartesiske produktet $\prod_{i=1}^n [a_i, b_i]$, der $a_i <b_i$ for alle $i$. Vi kaller et hyperrektangel bemerkelsesverdig dersom minst én av dimensjonene er et heltall. Vis at dersom vi kan fylle et hyperrektangel ...

La $S$ være superpunktet og la $M$ være midtpunktet på $BC$.
$\textbf{Påstand:}$ $(KMCS)$ og $(BLMS)$
$\textit{Bevis:}$ Av Iran lemma vet vi at $BL\perp AI$ og $CK\perp AI$. Åpenbart er også $SM\perp BC$. Dermed følger påstanden.


La $N$ være tangeringspunktet mellom A-utsirkelen og $BC$
$\textbf ...

Ny oppgave:
Finn alle heltall $n>6$ som tilfredsstiller $a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots = a_k-a_{k-1}$, der $a_1,a_2,\dots, a_k$ er tallene mindre enn $n$ som er innbyrdes primisk med $n$.

Antar det er ment at $d_1<d_2<\dots<d_k$.
Løsningene er $n=p^m$, der $p$ er et primtall og $m>3$. Åpenbart fungerer disse. Vi skal nå vise at dette er den eneste løsningen.

La $\{b_i\}_i=1^{k-1}$ være følgen gitt av $b_i=d_{i+1}-d_i$. Vi antar at $\{b_i\}$ er geometrisk med kvotient $r$. Siden ...

La $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ være positive reelle tall, slik at $xy+yz+zx=3$. Vis at
\[
\frac{a}{b+c}(y+z)+\frac{b}{c+a}(z+x)+\frac{c}{a+b}(x+y)\geq 3
\]

La $p_i=\sum_cyc a^{i}$ være den i-te potenssummen. Av T2 lemma har vi at
\[
\sum_{cyc} \frac{a^6}{b^4+c^3} \geq \frac{p_3^2}{p_4+p_3}
\]
Vi ønsker nå å vise at $\frac{p_3}{\sqrt{p_4+p_3}} \geq \frac{p_1}{4}$. Dette er ekvivalent med $16p_3^2\geq p_1^2(p_4+p_3)$.
Vi ser først på $p_4+p_3$. UTAG la ...

La $\{a_i\}$ være en stigende positiv heltallsfølge slik at $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{n} =0$. La $f:\mathbb{N} \to \mathbb{Q}$, der $f(n)=\frac{n}{a_n}$. Vis at $f$ er surjektiv på $\mathbb{N}$.

$\textbf{Påstand:}$ La $p>2025$ være et primtall. Hvis $\{1,2,\dots,p-1\}\subseteq S$, så er $p\in S$.
$\textit{Bevis:}$
Anta at hverken $p-1$ eller $p+1$ er en potens av 2. AFMS at $p+1$ er en potens av et primtall. Da er $p$ delelig på 2, en motsigelse. $p+1$ har derfor minst to ulike primfaktorer ...

Ny oppgave:
La $P\in \mathbb{C}[x]$. Finn alle $P$ slik at alle røttene til $P(z)$ og $P(z)-1$ har modulus 1.