Ny oppgave: La ABC være en trekant. La vinkelhalveringslinja til BAC skjære BC i D, og la M være midtpunktet på BC. Vis at linja gjennom omsenterene til trekantene ABC og ADM er parallell med AD. :mrgreen: :| :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :o :o :shock: :? :shock: :? 8-)...

La a/b+b/c+c/d+d/a=k Og b/a+c/b+d/c+a/d=n Noter at √((a^3b)/b^2cd) <= (2a/b+b/c+a/d)/4 Hvis vi tar den sykliske summen av dette får vi 4(a+b+c+d)<=3k+n, men k<a+b+c+d, så n>a+b+c+d QED Fikk kanskje litt hjelp av selveste CCpenguin :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen: :shock: :( :mrgreen: :mrgreen: :shock: ...

Jeg mener at denne oppgaven har for høy vanskelighetsgrad for dette forumet. Husk at vi skal holde nivået på NMC/Abel eller en lett imo oppgave. Denne oppgaven har mye høyere vanskelighetsgrad enn det som er akseptabelt på dette forumet. Neste gang CCpenguin, post en oppgave som er litt lettere.

Wow!
Vakker løsning

Nå bør det være fikset

Ny oppgave

La a,b,c>0 og abc=1

Vis (a+b)(b+2c)(c+4a)>=27

Løsning til oppgaven når alfa ikke er 0. Pga tekniske problemer bruker jeg a istedenfor alfa. La p(x,y) være x og y plugget inn i den orginale likningen. Da plugger vi dette inn: Gruppe 1 (x,1) (x+1,0) Gruppe 2 (x+1,1) (x,2) Gruppe 3 (1,1) (2,0) Observer at LHS på og det første leddet på RHS i en gr...

Endelig er det på tide at noe nyttig blir lagt ut på dette forumet. An acute triangle ABC in which AB<AC is given. Points E and F are feet of its heights from B and C, respectively. The line tangent in point A to the circle escribed on ABC crosses BC at P. The line parallel to BC that goes through p...

Anta for motstigelse at det finnes en 5-kant som ikke oppfyller kriteriet. Da ser vi på den 5-kanten med minimal areal som ikke oppfyller kriteriet. Kall den ABCDE. La A' være BD snittet med CE. Definer B',C',D',E' symetrisk. Siden det bare finnes 4 kombinasjoner av paritet på y og x kordinaten til ...

Ny oppgave :D :idea: :o :shock: :shock: :? 8-) :x :P :oops: :twisted: Let ABC be an acute triangle such that CA≠CB with circumcircle ω and circumcentre O. Let tA and tB be the tangents to ω at A and B respectively, which meet at X. Let Y be the foot of the perpendicular from O onto the line segment ...

La DEF være A, B, og C super punktene. La O' være omsenteret til PQR, og O være omsenteret til ABC Av et punkts potens er lengde betingelsen det samme som å si at ABPQ, BCQR og CAQP er syklisk. Claim: I er ortosenteret i både PQR og DEF. Bevis: <AFE+<FAD=1/2(<B)+1/2(<A)+1/2(<C)=90°. Dette viser at A...

Av AM-GM har vi x+y>=2√xy. hvis vi tar den sykliske summen av dette får vi (x+y)(x+z)(z+y)>=8√(xyz)^2=8xyz. ny oppgave: la ABC være en spissvinklet trekant. Kall omsirkelen Omega. La H og O være ortosenteret og omsenteret i ABC. la M,N være midpunktene på AB og AC. strålene MH og NH skjærer omega i ...

Det var faktisk meg som skrev løsningen til oppgaven, så her er en ny oppgave. Jeg tenker at de nye oppgavene burde ha en litt lavere vanskelighetsgrad, som passer bedre til øving for den kommende NMC. Let ABC be an acute angled triangle, and H a point in its interior. Let the reflections of H throu...

Consider the convex quadrilateral ABCD. The point P is in the interior of ABCD. The following ratio equalities hold:
∠PAD:∠PBA:∠DPA=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BPC
Prove that the following three lines meet in a point: the internal bisectors of angles ∠ADP and ∠PCB and the perpendicular bisector of segment AB.

Svar: (n-2)2^n+1 Først skal vi vise at (n-2)2^n+1 kan skrives som en sum av tall i set A_n. Vi gjør dette ved induksjon. Base case: n=2 holder siden (2-2)^2+1 = 1, som er riktig. La oss anta at (n-2)2^n+1 ikke kan skrive som summen av elementer fra A_n, og for motstigelses skyld at (n-1)2^(n+1)+1 = ...