Lil_Flip fikk akkut hjerneslag, og sykebilen er ikke innen rekkevidde. Løs oppgaven for å redde lil_flip
La P(x) være et polynom med grad n>1 og reelle koeffisienter.
Anta likningen P(P(P(x))) = P(x) har n^3 distinkte reelle røtter.
Vis at disse røttene kan splittes inn i to grupper med likt ...

Den var visst for velkjent så poster løsning og ny oppgave:

La a = \frac{u}{v}
Claim 1:
f(\frac{a}{b}) \geq af(\frac{1}{b})
Dette følger ved å bruke superadditivitet.

Claim (2) f(x)>0.
Bevis: åpenbart kanke f(x) = 0, siden da vil 0 = f(x)f(a/x) > f(a).
Observer nå at hvis vi lar B^+ være alle b ...

Denne er ennå ikke gjort, på tide at noen gjør den.
Finn alle funksjoner [tex]f : \mathbb{Q}_{>0} \rightarrow \mathbb{R} [/tex] som tilfredstiller
(1) [tex]f(x)f(y) \geq f(xy)[/tex]
(2) [tex]f(x+y) \geq f(x)+f(y)[/tex]
og at det finnes en rasjonell a>1 slik at
f(a) = a.

Vi viser at polynomet
P(z) = \frac{1}{2} \pm io \frac{\sqrt(3)}{2} +z^n for n>0 er de eneste polynomene som går.
La Q(z) = P(z)-1 , og anta alle røttene har modulus 1. La r_i, q_i, 1\leq i \leq n betegne røttene til P og Q respektivt.
Claim 1:
\prod_1^n r_i = \frac{1}{2} + \epsilon i\frac{\sqrt{3 ...

La [tex]P(x) = \prod_1^9 (x+d_j)[/tex], der [tex]d_j[/tex] er 9 parvis distinkte heltall.
Vis at det finnes et heltall N slik at for alle [tex]x \geq N[/tex] er P(x) delbart på et primtall større en 20

Ganske vanskelig oppgave, trengte mange hint for å finne 2^ndelen.

Claim 1: f(x) er odde for x >1
Bevis:
Observer at 1+a | 1^{f(a)} +a^{f(a)}
Hvis p \neq 2 deler venstresiden, ser vi at f(a) må være odde av LTE for alle a>1.

Claim 2:
a+b | b^{f(b)} - b^{f(a)}
Bevis:
Siden f(a) og f(b) er odde ...

Vis at i en mengde på 2000 ulike reele tall, finnes a>b,c>d med enten [tex]a \neq c[/tex] eller [tex]b \neq d[/tex].
Slik at følgende holder:
[tex]|\frac{a-b}{c-d}-1| < \frac{1}{200000}[/tex]

Løst med en god del hint.

VI dekker hyperrektangelet med hyperkvadrater med sidelengde 1/2. Observer at siden en dimensjon er heltallig må hvert hyperrektangel ha likt hypervolum av sort og hvit. Dermed må R også ha likt hypervolum sort og hvit.
Vi viser at hvis R bare har ikkeheltallige sider, er ...

Beste rådet jeg kan gi til beviser er vel å gjøre mye av det. Det er alltid vanskelig i starten, men blir normalt etterhvert.
Noe jeg liker å gjøre selv er å tenke hva stegene i beviset "symboliserer", eller skal bety visuelt

Let ABC be a triangle and $M$ be an interior point. Prove that

[tex]min\{MA,MB,MC) +MA +MB + MC < AB+AC+BC[/tex]

Vi skriver om ulikheten til
\sqrt{a+b-1}(gcd(a-1,b)+gcd(a,b-1)) \geq2 gcd(a,b-1) gcd(a-1,b)
Av AMGM er
gcd(a-1,b)+gcd(a,b-1) > 2 \sqrt{gcd(a,b-1)*gcd(a-1,b)}
Dette har likhet når de to termsa er like, men som enhver oppegående, velfungerende person vet vil ikke det skje.
Dermed kan vi redusere ...

Følgen a_n er definert rekursivt ved:
a_0 = -1
og
[tex]\sum_{0}^{n} \frac{a_{n-k}}{k+1} = 0[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex]
Vis at
[tex]a_n > 0[/tex] for alle n>0

Vi utsletter oppgaven med lagranges multiplikatormetode.
Vi fikserer a,b,c, og lar x,y,z variere.
La a' = \frac{a}{b+c} .

Observer at om en av variablene x,y,z blir arbitrert stor, er ulikheten åpenbart sann. Om z = 0, får vi at xy = 3.
Vi ønsker nå å vise
\frac{(a'+c')y+(b'+c')x}{2} \geq \frac{3 ...

Ny
Find all the positive integers $n$ such that:
$(1)$ $n$ has at least $4$ positive divisors.
$(2)$ if all positive divisors of $n$ are $d_1,d_2,\cdots ,d_k,$ then $d_2-d_1,d_3-d_2,\cdots ,d_k-d_{k-1}$ form a geometric sequence.
K Y

Først observer at n/an går mot uendelig, og starter <1.
La c være et naturlig tall.
Siden følgen går mot uendelig vil det per definisjon finnes en index k slik at k/ak <c, (k+1)/a_(k+1) >=c.
Vi viser at vi må ha likhet, som fullfører oppgaven.
Førsr observer st siden følgen er >1, så kan ikke an øke ...