La S betegne mengden av positive heltall større eller lik 2. En funksjon f: S\rightarrow S er radikalisert hvis: 1: f er surjektiv 2: f er strengt voksende på primtallene (p1<p2 => f(p1) < f(p2)) 3: for alle n \in S er f(n) lik produktet av alle f(p), der p|n for eksempel er f(360) = f(2)*f(3)*f(5) ...

SPOILER ALERT. dette er ikke ferdig, men heller en lagringsplass for et uferdig (og ikke spesielt bra) forsøk Vi viser først at vi bare trenger å se på casen der P(x) er et irredusibelt annengradspolynom. Først, kan vi observere at hvis P(x) > 0 for alle x >= 0, har polynomet ingen positive røtter, ...

Ny oppgave
likningen
[tex]x^3 -3x^2+1 =0[/tex]
har tre reelle løsninger [tex]x_1<x_2<x_3[/tex]
vis at for ethvert positivt naturlig tall er tallet
[tex]\left \lceil x_3 ^n \right \rceil[/tex]
delelig med 3

Vi løser kun oppgave b ved hjelp av genererende funksjoner. Lemma 1: Den genererende funksjonen for summen gitt n variable, er gitt ved A(x)=(\frac{x}{(x-1)^2})^n der den m-te koeffisienten til x^m representerer summen av produktene når summen av variablene er m Proof: Vi ser først at A(x)=(\sum_{k=...

ny oppgave
finn alle f: R->R slik at
f(x+y) + f(x)f(y) = f(xy)+2xy+1
for alle reelle x,y

Vi viser at bare (1,5),(1,1) går Lemma 1: for alle primtall p | 2^2^m +1, vil p>m la p være et primtall slik at p | 2^2^m +1 da er 2^2^m +1 == 0 (mod p) 2^2^m == -1 (mod p) 2^2^(m+1) == 1 (mod p) da må ordenen til 2 mod p dele 2^(m+1) vi ser også at siden 2^2^m == -1 (mod p) vil ikke ordenen til 2 d...

Ny oppgave:
La n være et positivt heltall, og la p være et primtall
Vis at dersom a, b, c er heltall som oppfyller
a^n +pb = b^n+pc = c^n +pa
vil a=b=c

"La [x] = floor(rot(x)) Anta WLOG x0 < y0 Først se at x_(i+1)> xi, som impliserer at både xi og yi er strengt voksende følger. Vi viser først at om x_i <y_i, er x_(i+1) <= y_(i+1) Dette er ekvivalent med at [yi]-[xi] <= yi-xi. dette er åpenbart siden differanser mellom kvadrattall er større en ...

Ny oppgave https://typst.app/project/ryTJAWCnpC8Eb2RJgasng7

La H være ortosenteret i ABC. Vi trenger bare å bevise at AD er en vinkelhalveringslinje til vinkel ∠EDF, også følger resten av symmetri. Først, observer at siden ∠CDA = ∠CFA = 90, så er CDAF syklisk. Siden ∠CEB = ∠CEH = 90 = ∠CDA = ∠CDH, får vi ∠CEH = ∠CDH, og dermed er CEHD syklisk. Siden CDAF er ...

Ny oppgave:
La a, b, c, d være positive reele tall slik at
abcd = 1, og [tex]$a+b+c+d > a/b +b/c + c/d + d/a$[/tex].
Vis at:
[tex]$ a+b+c+d < b/a + c/b + d/c + a/d $[/tex]
(husk at det er strenge ulikheter)

https://typst.app/project/rK2EXm36Y2XMNzp0NIejf7
Her er løsningen i en litt sketchy editor