Ny Oppgave: ( AoPS ) Notice that the Anchor Point Conjugation Theorem can be reformulated as,

https://latex.artofproblemsolving.com/7/f/a/7fa395c9aa5005401508aac09d5b4466b159195c.png

Theorem: Fix a point \(F \in (ABC)\) and an arbitrary point \(D\) in the plane. Let \(\omega\) be a circle ...

It is trivial to see that,
\[
\begin{cases}
AD^2 = \frac{b c \left(-12 a^2+12 b^2+25 b c+12 c^2\right)}{(3 b+4 c)^2}\\ BE^2 = \frac{a c \left(2 a^2+5 a c-2 b^2+2 c^2\right)}{(a+2 c)^2}\\
CF^2 = \frac{a b \left(6 a^2+13 a b+6 b^2-6 c^2\right)}{(2 a+3 b)^2}\\
\frac{T}{S} = 1-\frac{np}{ab}-\frac{qr ...

Ny Oppgave: Vis at for alle $a, b, c \in \mathbb{R}^{+}$ har vi,
\[
\sum_{\text{cyc}} \frac{\sqrt{b + c}}{a} \geq \frac{4(a + b + c)}{\sqrt{(a + b)(b + c)(c + a)}}
\]

Satisfying inequality :mrgreen:

Proof: Notice,
\[
\sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{a + b + \sqrt{2a + 2c}} \right)^3 = \sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{a + b + 2 \cdot \sqrt{\frac{a + c}{2}} } \right)^3
\]
however by AM-GM,
\[
\sum_{\text{cyc}} \left( \frac{1}{a + b + 2 \cdot \sqrt{\frac ...

Ny Oppgave: Bevise at det eksiterer en permutasjon av de naturlige tallene så summen av de første n er delelig på n.

Vurdere fargeleggingen i $4$ farger slik at,
\[
\begin{array}{|c|c|c|c}
\hline
1 & 2 & 1 & \cdots \\
\hline
3 & 4 & 3 & \cdots \\
\hline
1 & 2 & 1 & \cdots \\
\hline
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{array}
\]
La grafens noder være ruter med $1$ og kanter gjennom $(u, v)$ hvis en domino med ...

Ny Oppgave: Bevis at det eksisterer et tall som er større enn $2^\binom{2025}{1012} + 1$, slik at summen av primtall mindre enn tallet er relativt primt med det.

Lemma: Hvis du har to polynomer $P, Q$ de kan ikke være like untatt $x = 1$.
fordi hvis P har en koeffisient av lavere grad som ikke er null, så er fremdeles
\[
P(x + 1)>Q(x)
\]
og vi er ferdig (du kan ta $P = x^n$ og $Q = \sum_{i = 0}^n x^i$ og bruke binomialteoremet). $\square$

Nedre ...