Prove that for every positive integer $n$ there exists an $n$-digit number divisible by $5^n$ all of whose digits are odd.

a) Minimumet er $-506$.

Vi finner først den minste mulige verdien av $a_ia_{1+1}$ der $0\le i\le 2023$. La $a_{i+1}=a_i-c$ der $-1\le c\le 1$. Deretter må vi minimere $a_i(a_i-c)=a_i^2-a_ic$. Ved å fullføre kvadratet kan vi omskrive uttrykket til $(a_i-\dfrac{c}{2})^2-\dfrac{c^2}{4}$. Minimumet av ...

Henrik leker et spill. Han har $N$-godteri der $N < 1000$. Hver gang deler han godteriet inn i $n$-grupper, og deretter spiser han de resterende godteriet som ikke fordeler seg jevnt. På sitt første forsøk deler han godteriet inn i $17$-grupper, og spiser deretter de resterende $12$-godteriene. På ...

Det totale antallet mynter minimeres for verdier på $610$ av $N$.

Påstand: Antallet mynter minimeres ikke hvis $N\equiv 10a+b\mod 25$ der $0\le a\le 1\in\mathbb{N}$, $5\le b\le 9\in\mathbb{N}$ og $N\ge 25$.

Bevis. La $c$ være antallet 25 - kroninger. Da bruker Ife $a+b+c$-mynter. Anta nå at Ife ...

The integer $N$ is the smallest positive integer that is a multiple of $2024$, has more than $100$ positive divisors (including $1$ and $N$), and has fewer than $110$ positive divisors (including $1$ and $N$). What is the sum of the digits of $N$?

Legg først merke til at hvis $a$ mogger $b$, må $a$ være større enn $b$. Derfor er svaret ganske enkelt antallet tresifrede par der $a$ mogger $b$ over hvor mange par av forskjellige tresifrede tall det er.

Vi teller først hvor mange par $(a,b)$ med tresifrede tall det er slik at $a>b$. Dette er ...

Let $m$, $n$ be distinct positive integers. Prove that
$$\gcd(m,n)+\gcd(m+1,n+1)+\gcd(m+2,n+2)\le 2|m-n|+1.$$
Further, determine when equality holds.

Vis at for alle heltall $n$ finnes det et multiplum av $n$ med distinkte divisorer

Legg først merke til at for $n=1$ er $1$ et slikt multiplum. Deretter antar vi at $n≥2$. La
$$n=p_1^{e_1} p_2^{e_2}\dots p_m^{e_m}$$
og
$$n'=p_1^{p_1^{e_1}-1}p_2^{p_2^{e_2}-1}\dots p_m^{p_m^{e_m}-1}$$.
hvor $p_1 ...

Anta $f(x)=x^4+px^3+qx^2+rx+s$ for noen reelle tall $p,q,r,s$. I tillegg er $f(1)=59$, $f(2)=118$ og $f(3)=177$. Hvis $T=f(9)+f(-5)$, hva er summen av sifrene i heltallet som er lik $T$?

La $S_1$ og $S_2$ være de to delmengdene. Anta at $S_1$ har $n$ elementer. Vi har tydeligvis $\binom{6}{n}$ måter å velge $S_1$ på. Det er tydelig at $S_2$ må ha de $6-n$ elementene i $S$ som ikke er i $S_1$. Derfor er antallet muligheter for $S_2$ ganske enkelt antallet valg for skjæringspunktet ...