La g(x)=1+f(x) så f(x)=g(x)-1. Da lyder ligninga g(x+y)=g(x)g(y); dette er en variant av Cauchys funksjonalligning (her er forresten en tekst om funksjonalligninger: http://www.imomath.com/tekstkut/funeqn_mr.pdf) som har løsning g(x)=a^x for ikke-negative a, så vi får løsningene f(x)=a^x-1. (Der 0^y...

Bruk notasjonen y=1/(1-x) og z=(x-1)/x. Setter vi inn y og z for x i den opprinnelige ligninga får vi (etter litt regning) f(y)+f(z)=y og f(z)+f(x)=z. I tillegg har vi f(x)+f(y)=x, så f(x)=\frac12[(f(z)+f(x))+(f(x)+f(y))-(f(y)+f(z))]=\frac12(\frac{x-1}x+x-\frac1{1-x}) . Nok en: Finn alle f:\mathbb{R...

Først, jeg ser at jeg har skrevet feil, det skal være produktet av 1+a_n. Hvis det skal holde for n=1, får vi 1+a=e^a som ikke har noen positive løsninger, så vi holder oss til likhet i grensa.

Virker bra. Du mister et par løsninger på slutten da k kan være -1, 0 og 1.

Edit: Var visst retta opp nå.

Finn alle begrensa [tex]f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[/tex] slik at f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) for alle heltallige x og y.

Oppfølger: Kan man finne en positiv følge a_n så vi har likhet i Karl Eriks ulikhet, altså [tex]\prod a_n=\exp(\sum a_n)[/tex], eller kan man i det minste komme vilkårlig nær likhet?

Hvis du erstatter x med f(x) i FredrikMs formel, og bruker at g(f(x))=x, kan du løse ligninga f(x)=1 med hensyn på x, og så er du nesten i mål.

Kan du ikke skrive hva du har gjort, så ser noen sikkert over.

Så lenge du bare er interessert i g'(1) trenger du ikke et eksplisitt uttrykk for g(x).

Beklager, du har rett, jeg tenkte på tan^2 v, men skreiv noe annet.

Tex: Dropp mellomromma; [tex][tex][/tex].

Noen småting først: Notasjonen tan2v er uheldig, de fleste vil tolke det som tan(2v), men av sammenhengen ser jeg at du mener \tan^2 v=\tan v\cdot\tan v som er noe ganske annet. Et annet tip: Bruk tex, hvis du holder musa over matteskrifta ser du koden. Føy til [ tex ] foran og [ /tex ] bak uten mel...

La [tex]a_n=\sqrt{1+(1+\frac1n)^2}+\sqrt{1+(1-\frac1n)^2}[/tex] og [tex]s_N=\sum_{n=1}^N \frac1{a_n}[/tex].

3 oppgaver i stigende vanskelighetsgrad:

1) Vis at s_N er et heltall når N=3.
2) Vis at s_N er et heltall når N=20.
3) Pell ut de naturlige talla N som er slik at s_N er et heltall.

Virker bra.

Flott. En egenvektor x for egenverdien 1 for M, hvis det er det matrisa di heter, tilfredsstiller per definisjon Mx=1*x, som gir deg et ligningssystem du kan løse.

For å finne egenvektorer, trenger du først egenverdier. Hva er disse?