Til Jarle: ser bare noen små feil. Utrykket er ikke symetrisk, så du kan ikke direkte anta at [tex]a\geq b\geq c[/tex], og så ser jeg at det helt nederst står P=.. når det skal være P^2=...
Fin løsning (tror jeg, da jeg er litt for trøtt til å se veldig nøye etter om alt stemmer...)

Her er hvordan jeg løste oppgaven: (a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Updownarrow (ab-b+1)(bc-c+1)(ca-a+1)\leq 1 Etter å gange ut, forenkle, bruke at abc=1 og å flytte over får vi at ulikheten vi skal vise er ekvivialent me...

La [tex]a,b,c>0[/tex] og [tex]abc=1[/tex].
Vis at:
[tex](a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1[/tex]

Det har jeg vet du! Slik som i din løsning har vi: f(x)+f(y)=0 \,\,\,f(a)=a+\frac{1}{a}-2\sqrt{2a+1}+2 Men f(a) kan skrives om til: f(a)=\frac{1}{a}(a-\sqrt{2a+1})^2 \geq 0 Så vi har at f(x)=0\, og f(y)=0\, . f(x)=0 \,\, \Leftrightarrow \,\, x=\sqrt{2x+1} \Rightarrow x^2-2x-1=0 \Rightarrow x=\sqrt{2...

Riktig, lyst til å komme med beviset også?

La x og y være positive reelle tall. For vilke verdier (x,y) har vi:
[tex]x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2= 2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}-1)[/tex]

Har litt dårlig tid, så et bevis får komme senere... Mener svaret er 1/3

\tan(50^o)\tan(60^o)\tan(70^o)= \sqrt{3}\tan(60^o-10^o)\tan(60^o+10^0)= \sqrt{3}\frac{\sqrt{3}-\tan(10^o)}{1+\sqrt{3}\tan(10^o)}\cdot \frac{\sqrt{3}+\tan(10^o)}{1-\sqrt{3}\tan(10^o)}= \sqrt{3}\frac{3-\tan^2 10^o}{1-3\tan^2 (10^o)}= \frac {\sqrt{3}}{\tan(10^o)} \cdot \frac{3\tan(10^o)-\tan^3 (10^o)}...

Her kommer en oppfølger som kan løses med samme metode...

La x og y være positive heltall slik at xy deler x^2+y^2+1. Vis at:
[tex]\frac{x^2+y^2+1}{xy}=3[/tex]

Ok, jeg slenger like gjerne ut en løsning til denne: \frac{a^2+b^2}{ab+1}=k a=b\,\, \Rightarrow \,\, a^2+1|2a^2 \,\, \Rightarrow \,\,a^2+1|2\,\, \Rightarrow \,\,a=1\,\, \Rightarrow \,\,k=1 Av symetri kan vi anta at a>b. Vi har at: a^2-kba+ b^2-k=0 Ser vi på dette som en 2.gr likning med hensyn på a,...

Her kommer min løsning som jeg tok litt på sparket egentlig... :? La a= \sin \alpha og b=\cos \alpha . Uten tap av generalitet kan vi anta at a<b (slik mrcreosote forklarte). Som sagt, da alpha er i det gitte intervallet, har vi to tilfeller : I) \,\,a<b<\frac{a}{b}<\frac{b}{a} II) \,\,a<\frac{a}{b}...

Syntes dette problemet var litt kult:
Vis at hvis [tex]\frac{a^2+b^2}{ab+1}[/tex] er et heltall så er det et kvadrat (a og b er positive heltall).

Siden P \in \mathbb{Z}[x] har vi at x-y|P(x)-P(y) \,\, \forall x,y \in \mathbb{Z} \,\, x \neq y Vi antar at det finnes et slikt polynom (som oppgaven spør etter). Da har vi: a-b|P(a)-P(b)=b-c b-c|P(b)-P(c)=c-a c-a|P(c)-P(a)=a-b Det må bety at a-b=b-c=c-a=k 0=(a-b)+(b-c)+(c-a)=3k \,\,\, \Rightarrow \...

Jeg har desverre ikke løsningen

Denne fikk vi av Jørgen Vold Rennemo på treningselieren før BW. Hvor kommer oppgaven ifra?