La \angle (BAC)= 2\alpha , \angle (CBA)= 2\beta , \angle (ACB)= 2\gamma da er \alpha+\beta+\gamma=90^o Av periferivinkler får vi at: \angle (B^{\prime} A^{\prime} C^{\prime}) = \beta+\gamma osv. Sinussetningen sier at: \frac{\mid AB \mid}{sin 2\gamma}=\frac{\mid BC \mid}{sin 2\alpha}=\frac{\mid CA \...

Bra det, da kan vel jeg komme med min løsning/skisse (som baserer seg på noe av det samme som deres løsninger). g(x)=x-f(x) n= \lfloor log_2 x \rfloor f(x)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{x}{2^i} \rfloor x=2^n+y der 0 \leq y \leq 2^t -1 f(2^n+y)=\sum_{i=1}^{n}\lfloor \frac{2^n+y}{2^i} \rfloor= \sum_{i=1...

La [tex]f(m)[/tex] være antallet toer-faktorer i [tex]m![/tex] ([tex]f(m)[/tex] er det største tallet [tex]k[/tex] slik at [tex]2^k \mid m![/tex]). Vis at det finnes uendelig mange positive heltall [tex]m[/tex] slik at [tex]m-f(m)=1989[/tex].

Sorry mac, Cauchys ulikhet går desverre motsatt vei
(dessuten er [tex]7(a^4+b^4+c^4)+10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}[/tex] opplagt "nonegative" da:[tex]7(a^4+b^4+c^4) \geq 0[/tex] og[tex]10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2 +(ca)^2)} \geq 0[/tex]...)

Litt vrien denne her

La a,b,c være reelle tall, vis at:
[tex]7(a^4+b^4+c^4)+10(a^3b+b^3c+c^3a) \geq 0[/tex]

Siden ulikheten er homogen, kan vi anta at: \sum_{i=1}^n x_i =1 Ulikheten blir da: C \geq \sum_{i<j}^n x_i x_j (x_i^2+x_j^2) =(\sum_i^n x_i^3(\sum_i^n x_i)) - (\sum_i^n x^4)= \sum_i^n x_i^3 - \sum_i^n x_i^4 \sum_i^n x_i^4 -\sum_i^n x_i^3+C=\sum_i^n x_i^3(x_i-1) +C \geq 0 Fordi: x_k \geq x_l \Rightar...

Artig oppgave, lett å rote seg bort her... :D \sum_{cyc}^{a,b,c} (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1) \geq \sum_{cyc}^{a,b,c} (2 \sqrt{\frac{a}{b}}-1)(2 \sqrt{\frac{b}{c}}-1)=3 Her brukte jeg bare at x+\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}} som er AM-GM EDIT: Sorry folks, rota meg visst bort (ble litt f...

Helt riktig!

[tex]k= \frac{9}{8}[/tex] stemmer desverre ikke for alle a,b,c:
moteksempel: a=0, b=c=2

Lar noen andre få æren

Et lite hint til en enkel løsning er å bruke Menelaus teoremet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Menelaus_theorem

Jaja, får komme med en liten nøtt til dere nøtteknekkere

La [tex]a,b,c \geq 0[/tex] og [tex]a+b+c=ab+bc+ca[/tex]
Finn maksimum av k s. a.:
[tex](a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-k) \geq k[/tex]
alltid stemmer

Er ikke dette Baltic Way 2005 oppg 2 da??

ja, men det blir jo feil da det for eks. finnes "flere" punkter med koordinater med y=0 enn Y=20. Hvis du skjønner hva jeg mener:P

Mener det blir \frac {1600}{3} skal prøve å poste en løsning etterhvert. Edit: svaret mitt er nok feil, men tanken er at R(x,y,z)= \frac {T(x,y,z)+T(x,-y,z)}{2}= y^{2}+400 Så problemet er redusert til å finne gjennomsnittet til en halvkule med positive y koordinter, og temperaturen er gitt ved funkj...