Av homogenitet kan vi anta at a^2+b^2=c^2+d^2=1 . Vi kan derfor gjøre substitusjonene: a=\sin (x), \ b=\cos (x), \ c=\sin (y), \ d=\cos (y) Utrykket blir dermed lik: 10\cos (x)\sin (y)+10\sin (x)\cos (y)+7\cos (x)\cos (y)-7\sin (x)\sin (y) =10\sin (x+y)+7\cos (x+y)\leq \sqrt{10^2+7^2}\sqrt{\sin^2 (x...

Mener du maksimum?
Det er klart at [tex]xyz>0[/tex] og dersom [tex]z=1, \ x=3-2y[/tex] får vi [tex]xyz=y(3-2y) \rightarrow 0[/tex] når [tex]y \rightarrow 0[/tex].

For maksimum:
Av AM-GM har vi
[tex]8=(\frac{x+2y+3z}{3})^3\geq 6xyz[/tex]
[tex]0<xyz\leq \frac{8}{6}[/tex]

Deler vi på abc blir ulikheten: (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a^2+b^2+c^2)^2\geq1 Fra AM-HM har vi \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9 og fra QM-AM har vi \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3} Derfor får vi (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(a^...

Flott!

Hmmm. Prøver på nytt. g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!} . Dette er en CDF (opp til k=n=\lambda ) av Poisson-fordelingen med \lambda=n . Siden Poisson-fordelingen har median n , går summen mot \frac{1}{2} . \lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2} https://en.wikipedia.org/wiki/Pois...

Oppfølger:

La [tex]a,b,c,d[/tex] være ikke-negative reelle tall s.a. [tex]ab+bc+cd+da=1[/tex]. Vis at
[tex]\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq\frac{1}{3}[/tex]

La x=\frac{a}{b}, \ y=\frac{b}{c}, \ z= \frac{c}{a} , der a,b,c>0 . \sum_{cyc}\frac{1}{(x+1)^2+y^2+1}=\sum_{cyc}\frac{1}{(\frac{a}{b}+1)^2+(\frac{b}{c})^2+1}=\sum_{cyc}\frac{(bc)^2}{c^2(a+b)^2+b^4+(bc)^2} Av AM-GM har vi c^2a^2+b^4\geq 2ab^2c . Derfor får vi c^2(a+b)^2+b^4+(bc)^2=c^2a^2+b^4+2c^2ab+2...

Observer at integranden er stigende da n^x vokser raskere* enn \Gamma(x+1) på interallet [0,n] . Derfor har vi g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n) Siden \lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1 , følger det a...

Av symmetri kan vi anta at a er minst. Observer at venstresiden minimeres når a=0 , siden den første brøken blir 0 , og de andre får større nevner. Derfor blir ulikheten \frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2} \geq \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}=(\frac{b}{c}-\frac{c}{b})^2+2>2 V...

Ulikheten kan skrives om til
$x^2+y^2\leq xy+1$
Av symmetri kan vi anta at $x\leq y$ og derfor
$x^2\leq xy$ og $y^2\leq 1$.

$2n+1=m^2$ er et odde kvadrat, så vi kan skrive $m^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1$
$n+1=\frac{m^2+1}{2}=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2$

1. $b^2 a=ab^2$ Bevis: $(aba)^3=aba^2 ba^2 ba=a(aba)a^2 ba=a^2 b^2 a$ $(aba)^3=aba^2 ba^2 ba=aba^2(aba)a=a b^2 a^2$ så $a^2b^2a=ab^2a^2$ og derfor $b^2a=a^2b^2a^2=ab^2$ 2. $a^2ba=b^3$ Bevis: $(aba)^{3n}=(ba^2b)^{3n}$ $(aba)^{3n}=((aba)^3)^n=(a^2b^2a)^n=a^2b^{2n}a=a^2ba$ $(ba^2b)^{3n}=ba^2b^2\cdots b...

En liten oppfølger:

La $R$ være en ring der $x^2=x \ \ \forall x \in R$. Vis at $2x=0$.

1. $(x^2-x)y=y(x^2-x) \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 y-yx^2=xy-yx$
2. $(y^2-y)x=x(y^2-y) \ \ \Leftrightarrow \ \ y^2 x-xy^2=yx-xy$
3. $((x-y)^2-(x-y))y=y((x-y)^2-(x-y)) \ \Leftrightarrow \ \ (x^2 y-yx^2)+(y^2 x-x^2)=xy-yx \ \Rightarrow \ \ 0=xy-yx$

Elegant løsning Stensrud! Jeg løste den som deg Gustav:)

Oppfølger: Finn arealet under grafen.