Anta først $x=y$, da får vi $x^2=x+a$, så $a=x^2-x$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.

Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.

Er forresten https://www.universitetsforlaget.no/nettbutikk/kalkulus-4-utgave-uf.html den riktige boka? Må bare være sikker, hadde jo vært nedtur å bestilt feil bok til 900 kr, hehe. Jeg brukte Kalkulus i mine introkurs i (reell) analyse. Jeg synes boka er veldig bra skrevet. Kan også anbefale oppf...

Det er rett at man skal bytte grenser når man bruker u-substitusjon. Dette kan man selvfølgelig vise gjennom et bevis. Jeg legger ved et så kan dere se på det hvis det er av interesse. Teorem: La $U \subseteq \mathbb{R}$ være et intervall og $\phi:[a,b] \to U$ en kontinuerlig deriverbar funksjon. An...

Tanken er å bruke at $ab-b=b(a-1)$. Dermed får vi at $$3x^3+2x^2-3x-2=x^2(3x+2)-(3x+2)=(3x+2)(x^2-1)=(3x+2)(x+1)(x-1)$$

Hvis du skal løse den som en seperabel differensiallikning, kan du gjøre følgende: $2xy'+y=1 \enspace \to \enspace 2xy'=1-y \enspace \to \enspace y'=\frac{1-y}{2x} \enspace \to \enspace \frac{y'}{1-y} = \frac{1}{2x}$ Dermed har vi fått separert de to variablene, og du er sikkert kjent med at denne r...

Definisjonen på en grafisomorfi er så vidt jeg vet helt uavhengig om grafen er enkel eller ikke. La $G$ og $H$ være to grafer med hjørnemengde (vertex set på engelsk, jeg vet ikke en bedre oversettelse) $V(G)$ og $V(H)$ og kant-mengder (edge set) $E(G)$ og $E(H)$. Hvis det finnes bijektive funksjone...

Vi ønsker å integrere $\mathcal{I}=\int \sqrt{x^2+1} \, \text{d}x$ Sett $x=\tan(u)$, dvs $u=\arctan(x)$. Da fås $\frac{\text{d}x}{\text{d}u} = \frac{1}{\cos^2(u)}$, så $$\mathcal{I}=\int \sqrt{x^2+1} \, \text{d}x = \int \sqrt{\tan^2(u) + 1} \frac{1}{\cos^2(u)} \, \text{d}u$$ Nå er $\tan^2(u)+1 = \fr...

(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$. Finn $n$. Siden $n^5\equiv n \mod m$ både for m=3 og m=10 (og dermed m=30) får vi at $n\equiv 0 \mod 3$ og $n\equiv 4 \mod 10$. De...

Oppfølger: $ \hspace{1cm}\int_1^\infty\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2\lfloor x\rfloor} $ På $[n,n+1)$ er $\lfloor x \rfloor = n$ når $n \in \mathbb{N}$. Dermed kan vi splitte opp integralet i perioder med lengde $1$ som gir $$\begin{alignat*}{2} \int_1^\infty \frac{1}{x^2\lfloor x \rfloor} \, \text{d}x &am...

Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?

Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:

[+] Skjult tekst

Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.

Oppfølger:
Vis at for alle $n \in \mathbb{N}$ så har polynomet $$P_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$$ bare simple nuller i det komplekse planet.

Alternativt: skriv $p(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_t)$. Da fås $$\begin{alignat*}{2} a(x-16)(2x-r_1)(2x-r_2)\cdots(2x-r_t) &= 16a(x-1)(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_t) \\ 2^ta \left(x-\frac{r_1}{2} \right) \left(x-\frac{r_2}{2} \right) \cdots \left ( x- \frac{r_t}{2} \right)(x-16) &= 16a(x-1)(x-r_1...

Antar du mener at du ønsker å finne egenverdier og egenvektorer til matrisen $$A = \begin{pmatrix} 0 & -14 & 0 \\ 0 & -9 & -6 \\ 0 & -3 & -6 \end{pmatrix}$$ Dersom $\mathbf{v}\neq 0$ og $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ så sier vi at $\lambda$ er en egenverdi med tilhørende ege...

Et annet veldig fint bevis, som fungerer veldig godt som en huskeregel for denne formelen: Ved Eulers formel: $e^{i\alpha} = \cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$ og $e^{i\beta} = \cos(\beta)+i\sin(\beta)$. Dermed er $$\begin{alignat*}{2}e^{i(\alpha+\beta)} &= \left(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha) \right)\left...

Tuuusen takk for grundig og nøyaktig svar! Ble en del klarere nå. Skjønner ikke at jeg drev å knotet sånn.. Synes det er så vanskelig å skille mellom når jeg skal ta med kryssproduktet av de deriverte og ikke. Men lurer litt på noe. Når du bytter til forskjøvete polarkoordinater, velger du +1 i x f...