La $S$ være det oppgitte uttrykket. Ved gjentatte anvendelser av AM-GM har vi: \[S \geq \frac{1}{(4\sqrt[4]{a^2bc})^3}+\frac{1}{(4\sqrt[4]{b^2ca})^3}+\frac{1}{(4\sqrt[4]{c^2ab})^3} = \dfrac{1}{64}\left(a^{-3/4}+b^{-3/4}+b^{-3/4}\right) \] \[\geq \dfrac{1}{64}3\sqrt[3]{a^{-3/4}b^{-3/4}b^{-3/4}}=\dfra...

Dette er et direkte resultat av Engel form av cauchy-schwartz. Ved å følge mer eller mindre lik tankegang som Markus' bevis over, kan man oppnå det generelle utsagnet: \frac{ a_1^2 } { b_1 } + \frac{ a_2 ^2 } { b_2 } + \cdots + \frac{ a_n ^2 } { b_n } \geq \frac{ (a_1 + a_2 + \cdots+ a_n ) ^2 } { b_...

Gitt at $ord_p(x)|p-1$ for alle $x\not\equiv 0$, trenger vi kun å vise at det finnes et tall $x$ slik at $ord_p(x)=p-1$. Men gitt at det alltid eksisterer primitive røtter modulo et primtall, er vi ferdige.

Innså nettopp at jeg hadde mer eller mindre samme bevis som plutarco, men poster likevel fordi jeg er bitte litt stolt. :D Anta wlog at $x^2+y^2+z^2=1$, i hvilket tilfelle vi trenger å vise: \[\sum_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{x^2+2y^2}\right)\geq \dfrac{1}{9}.\] Ved Cauchy-Schwarz: \[\left(\sum_{cyc}\lef...

Vi sier at nulldivisjon er udefinert, men det er fullt mulig det bare er en begrensning av matematikken vi kjenner per idag. Det kan tenkes at noen oppdager en måte å definere det på, som tilfredsstiller øvrig matematikk. Eller at matematikken må omarbeides litt for å få en klar definisjon. Det bli...

Noen som har eksamen som de kan legge ut?

Her kommer et løsningsforslag til hele eksamen R1 våren 2017. Kom gjerne med tilbakemeldinger dersom noe er uklart/feil. Blir litt pirking på oppgave 4d på del 2. La $Q(x)=f(x)-b-f'(x)\cdot (x-a)$, der $Q$s røtter tilsvarer tangenter gjennom punktet $P(a,b)4$. Det er ikke ikke tilstrekkelig å si at...

Hadde R1 eksamen i dag også, leverte hele DEL 2 på papir (blanding av håndskrevet og utskrift fra pc).

Man kunne argumentere for at siden dette er snakk om en rett linje som skal tangere f(x) i punktet x og i tillegg passere gjennom punkt (a,b) så må stigningstallet til tangenten som da blir Delta(Y)/Delta(X) = (f(x)-yo)/(x-xo) må være det samme som den momentane veksten til f(x) i punktet x altså v...

Etter interesse fra samtlige i forumet (inkludert meg) tenkte jeg at vi kunne dele løsninger (fullstendige og mindre fullstendige) for eksamen R1 del 2 oppgave 4d. Oppg4.jpg Her er min løsning som jeg leverte inn: Om vi setter $a,b$ inn i formelen gitt i b), vet vi at alle potensielle tangenter må o...

Stis skrev: er det noen som har løst 4d? slet med den! rakk ikke svare mer enn en dårlig utregning + at det maks blir 3

Jeg åpner en egen tråd for denne oppgaven ettersom det er stor interesse.

Bananiel, hvordan løste du siste deloppgaven i del 2?

Tror ikke de kan være for streng på det hvis du skrev ned det med tredjegradspolynom. Det er tross alt hovedideen til løsningen. En liten ting som jeg glemte: hva hvis punktet $A$ lå på $f$? Det villi så fall skape en situasjon der potensielt $4$ tangenter kan oppstå (siden det er en tangent som skj...

Fra vagt hukommelse husker jeg at om man så på formelen fra b) og c), kunne man sette inn a og b inn i de plassene for 4 og 3, gange ut brøken, sette alt på en side, og få en noenlunde generell tredjegradspolynom. En tredjegradspolynom har ved sitt meste 3 røtter, som i dette tilfelle tilsvarer tre ...

Noen som har tanker om/oppgaver fra R1 eksamen tidligere i dag?