Følgen av reele tall $ a_0, a_1, a_2, \dots $ er definert ved
\[a_0 = -1 \text{ }, \sum_{k=0}^n \frac{a_{n-k}}{k+1} = 0\text{, for } n \ge 1. \]
Vis at ${} a_n > 0 $ for $ n \ge 1 $.
(Imo shortlist 2006, Poland)
Edit: formatering.
Søket gav 91 treff
- 17/04-2017 10:38
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: IMO-ulikhet
- Svar: 5
- Visninger: 4957
- 09/04-2017 12:34
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Leningrad 1988
- Svar: 6
- Visninger: 3503
Re: Leningrad 1988
Nå synes jeg vi er litt for slem mot stenstrud her.
- 08/04-2017 10:31
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Leningrad 1988
- Svar: 6
- Visninger: 3503
- 08/04-2017 10:22
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Leningrad 1988
- Svar: 6
- Visninger: 3503
Re: Leningrad 1988
Edit: Verdt å nevne at en slik funksjon også eksisterer: La for eksempel $f(x)=\frac1x$ for alle $\frac{1}{999}\leq x\leq 999$, og $f(x)=999$ ellers. Blir litt nitpicking her, men funksjonen nevnt over er ikke kontinuerlig ettersom $\lim_{x\rightarrow 999^{+}}f(x)=999$ mens $f(999)=\frac{1}{999}\ne...
- 07/04-2017 23:23
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Tallteori
- Svar: 8
- Visninger: 4764
Re: Tallteori
Her kommer en sketch av min løsning. Vi slår parantesene sammen først: \[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\] Det er mulig å vise at om $(a,b,c)$ er slik at $\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}< 2$, vil også ulikheten gjelde for $(\ba...
- 26/03-2017 12:49
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Geometri
- Svar: 2
- Visninger: 2046
Re: Geometri
Ikke verst!
- 25/03-2017 12:20
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Geometri
- Svar: 2
- Visninger: 2046
Geometri
I en trekant $ABC$ skjærer høyden fra $A$ linjen $BC$ i punktet $D$. Speilbildene av $D$ om sidene $AB$ og $AC$ kaller vi henholdsvis $E$ og $F$. La $O_1$ være omsentret til trekanten $ABC$, og $O_2$ være omsentret til trekanten $O_1EF$. Vis at $O_1$, $O_2$, og $A$ ligger på linje. trekant.png (Omse...
- 24/03-2017 18:45
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Grei ulikhet
- Svar: 3
- Visninger: 2300
Re: Grei ulikhet
Alternativt kan man observere at $\dfrac{n+1}{2}$ er bare et gjennomsnitt av $1+k$ og $n-k$ . Dermed kan vi gruppere faktorene i n! slik: \[n!=\left(1\cdot n\right)\left(2\cdot \left(n-1\right)\right)\dotsb\left(\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \cdot \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil\ri...
- 19/01-2017 14:50
- Forum: Videregående skole: VG1, VG2 og VG3
- Emne: Spørsmål: Bevisføring - R2
- Svar: 4
- Visninger: 1296
Spørsmål: Bevisføring - R2
Planlegger å ta R2 privatisteksamen til høsten. For meg strekker matematikkunskapene mine seg mye lengre enn r2 pensum. Dermed har jeg tilgang til teoremer og andre matematiske verktøy som gjør mange av oppgavene trivielle (ikke at de ikke er mer eller mindre trivielle fra før, menmen). Så spørsmåle...
- 26/12-2016 14:19
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Oppgaver [VGS]
- Svar: 24
- Visninger: 11719
Re: Oppgaver [VGS]
(Oppgåve 1) (Oppgåve 10) Hvis \sin \alpha +\sin \beta =\sqrt{\frac{5}{3}} og \cos \alpha +\cos \beta =1 . Hva er \cos(\alpha -\beta ) ? Man vet at $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)$ Høyresiden kan vi finne ut ved å kvadrere de to likningene vi har fått, og summer...
- 25/12-2016 21:29
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhet
- Svar: 10
- Visninger: 6682
Re: Ulikhet
Warning: brute-force Er det ikke en mulighet å gange ut hele uttrykket: $$ \sum_{cyc}\left (a^2+2 \right )\left (b^2+2 \right )\left (a^2+6bc \right )\left (b^2+6ca \right )\left (c^2+6ab \right )\leq\sum_{cyc}\left (a^2+2 \right )\left (b^2+2 \right )\left (c^2+2 \right )\left (a^2+6bc \right )\lef...
- 23/12-2016 00:18
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhet
- Svar: 10
- Visninger: 6682
Re: Ulikhet
Er Lagrange Multipliers innafor?
- 22/12-2016 09:57
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Julekalender - luke 22
- Svar: 2
- Visninger: 1898
Re: Julekalender - luke 22
Om man løser $x_{n+1}=\frac{1+x_n}{1-x_n}$ for $x_{n} $, får man$$ x_{n}=-\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}$$ Men høyre side er jo bare $-\frac{1}{x_{n+2}} $ Dermed har vi: $$x_{n}=-\frac{1}{x_{n+2}}=-\frac{1}{-\frac {1}{x_{n+4}}}=x_{n+4}$$ Siden 0 og 2016 er det samme modulo 4, vet vi at $$x_{2016}=x_{0}...
- 22/12-2016 09:32
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Julekalender - luke 21
- Svar: 12
- Visninger: 5080
Re: Julekalender - luke 21
Siden veien innen en rad er entydig bestemt ut fra hvor marihøna går inn i raden og ut av raden, kan vi bare telle antall kombinasjoner av forskjellige plasser marihøna kan flytte seg ned i neste rad. Det er 9 rad marihøna kan flytte seg nedover, og på hvert rad er det 10 forskjellige plasser hvor d...
- 15/12-2016 23:38
- Forum: Åpent Forum - for diskusjon
- Emne: Forslag til deltidsjobb for en matte-enthusiast? (VGS)
- Svar: 4
- Visninger: 5317
Forslag til deltidsjobb for en matte-enthusiast? (VGS)
Litt bakgrunnsinfo om meg selv: Jeg er ganske glad i matematikk (elsker dette forumet :D ), og jeg vil si at jeg kan en stor liten del av det (mer enn nok til å lære VGS-elever alt mellom 1P og R2). Generelt sett fascinerer systemer og slikt meg, så det er ingen tvil om jeg ville ha elsket å gjøre e...