n+1 kolonner og n^{n+1}+1 rader? Hver rad vil ha minst to likefargede punkt etter dueboksprinsippet. Der er n^{n+1} mulige fargekombinasjoner for hver rad, og siden der er n^{n+1}+1 rader, vil minst to ha samme fargekombinasjon, og danne et rektangel med de likefargede punktene i hver rad for å få ...

Tar hintet, med 9 rader og 3 kolonner. Dueboksprinsippet sier at hver rad har minst to likefargede punkt (2 farger, 3 punkt). Der er 2^3=8 mulige fargekombinasjoner for hver rad, og siden vi betrakter 9 rader, vil etter dueboksprinsippet minst to av dem ha samme kombinasjon. Om vi ser på to likefarg...

n er strengt voksende når n øker, selvfølgelig. \lfloor{\sqrt{n}}\rfloor er konstant helt til det øker med 1 når n blir neste kvadrattall. Over et intervall n\in [k^2,(k+1)^2),\: k\in \mathbb{N} er altså q voksende, ikke nødvendigvis strengt på grunn av den ytterste gulv-funksjonen. q((k+1)^2-1)=\l...

b) Farger planet hvitt og blått, og antar der ikke finnes to punkter av samme farge med avstand 1. Om vi har et hvitt punkt, må da alle punkter med avstand 1 til punktet være blå. Dermed har vi en blå sirkel med radius 1 om et hvitt punkt. Bare periferien er farget. Om vi ser på et punkt på periferi...

Der er sikkert en fin løsning med paritet eller noe sånt, men jeg løste den slik: Sektor 1,2,3,4,5,6 har henholdsvis 1,0,1,0,0,0. Lar a være antall operasjoner utført på 1 og 2, og likeså med b på 2 og 3, c på 3 og 4, d på 4 og 5, e på 5 og 6, og f på 6 og 1. For at tallene i sektorene skal bli like...

For hver kopp te får automaten 6kr og for hver kopp kaffe 8kr. Om t er antall kopper te solgt og k antall kopper kaffe solgt har vi altså ligningssystemet 6t+8k=400 t+k=58 Første ligning er ekvivalent med 3t+4k=200 . Trekker vi fra tre ganger andre ligning fra den ligningen får vi k=200-3\cdot 58=20...

Kan ikke Cauchy-Schwarz enda, men løste den med Lagranges multiplikatormetode. :P Har funksjonene f(a,b,c)=2a^2+3b^2+5c^2 og g(a,b,c)=a+b+c-1=0 og at a,b,c>0 . Funksjonskurvene tangerer hverandre i minimumspunktet, som betyr at gradientene deres er parallelle: \nabla f=\lambda \nabla g . Deriverer m...

Løs ligningssystemet
[tex]xy=12\sqrt{6}[/tex]
[tex]yz=54\sqrt{2}[/tex]
[tex]zx=48\sqrt{3}[/tex]
der [tex]x,y,z\in \mathbb{R}^+[/tex].

s(n)={1\over 6}n^3-{1\over 2}n^2+{1\over 3}n={n^3-3n^2+2n\over 6}={n(n^2-3n+2)\over 6}={n(n-1)(n-2)\over 6} Blant tre etterfølgende heltall vil nøyaktig ett av dem kunne deles på tre og ett eller to av dem kan deles på to. Produktet kan dermed deles på seks, så s vil være heltall så lenge n er det.

Min løsning: utregning, antagelse, bevis og til slutt anvendelse. Flytter om til f(x+1)=2x+3-f(x) , og regner ut noen verdier for f : f(2+1)=f(3)=2\cdot 2+3-3=4 f(4)=5,\: f(5)=6,\: f(6)=7 . Ser ut som f(x)=x+1 . Setter det inn i venstresiden for å få høyresiden: f(x)+f(x+1)=x+1+x+1+1=2x+3 . Dermed e...

At hvis påstanden P(k) stemmer, må også P(k+1) stemme, er det vi prøver å bevise. Du har vist at uttrykket (k+1)^3-(k+1)=(k^3-k)+3(k^2+k) , og siden du antar at utsagnet P(k):\: 3|k^3-k er sant, har du vist at den antagelsen medfører at P(k+1) må være sant. P(k+1) er da sant hvis P(k) er det. For å ...

P(1<x\leq3) Dette skal bety sannsynligheten for at x\in(1,3] , altså sannsynligheten for at x er større enn 1 samtidig som det er mindre enn eller lik 3 . Altså er som regel P(1<x\leq3)\neq P(x\leq3)-P(1<x) , men alltid skal P(1<x\leq3)=P(1<x)-P(3<x)=P(x\leq3)-P(x\leq 1) . Håper det ga mening og at...

Beholdt notatene mine fra konkurransen, så kunne regne ut min poengsum til å bli 64. Veldig skuffet over en del slurv, men håper å gjøre det godt igjen i runde 2, som jeg regner med er innenfor rekkevidde.

Resultatlistene med poenggrenser kommer vel vanligvis mot midten av Desember.

$(7)$ Hvor mange heltall $a$ fins det som er lengden av en katet i en rettvinklet trekant der den andre kateten har lengde $27$ og hypotenusen også har heltallig lengde? Må finne løsninger til den diofantiske ligningen 27^2+a^2=h^2 der h er hypotenusen. Omformer til 27^2=3^6=h^2-a^2=(h+a)(h-a) . Si...

Straamann skrev:hm. da tror jeg du har gjort feil et sted, for fasit sier 1764 kvadratmeter.

Jeg fant arealet av den øverste trekanten. Arealet til den nederste er [tex]{39\times 52\over 2}=1014[/tex]. Summen av disse er da 1764. Ingen feil gjort