12+4x>x^2 2x+1>5 Andre ulikhet er ekvivalent med x>2 (-1 så del på 2 på begge sider). Andre ulikhet er ekvivalent med x^2-4x-12=(x-6)(x+2)<0 (faktorisering, som kan gjøres ved å finne nullpunkt om man ikke ser at -6*2=-12 og at -6+2=-4). Andre ulikhet sier altså at -2<x<6 (som du kan se ved fortegn...

1) Vis at hvis $\frac1a+\frac1b+\frac1c=1$, så er $(a+1)(b+1)(c+1)\geq 64$. Betingelsen gir at abc=ab+bc+ca og at 3=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} , som er det harmoniske gjennomsnittet. Fra AM-GM-HM vet vi da at a+b+c\geq 9 og at abc\geq 27 . Dermed er (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a...

a) Karakteristisk likning r^2-4r+5=(r-2)^2+1=0 gir r=2\pm i og at y=e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x) y(0)=C_1=0 så y=C_2e^{2x}\sin x og y'=C_2(2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x) y'(0)=C_2=1 og vi ender opp med y=e^{2x}\sin x c) Karakteristisk likning r^2-1=0 gir r=\pm 1 og at y=C_1e^x+C_2e^{-x} , y'=C_1e^x-C_2e...

(2) Legger sammen likningene x^2+y^2+2xy+x+y=229+77 (x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17 , som gir x+y=17\: \lor \: x+y=-18 . Ved andre likning er xy=77-(x+y) , som gir henholdsvis xy=60\: \lor \: xy=95 . Første likning kan omskrives til (x-y)^2=229-3xy , som gir (x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56 . Men siden ...

(2)
[tex]{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}={\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\over n-(n+1)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]
Dermed blir dette en teleskoprekke og vi får
[tex]\sum_{n=1}^{99}{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9[/tex]

Hvordan gikk det med deg da? Gikk dårligere enn forventet her også, men enig med deg i at årets vanskelighetsgrad var mye høyere enn vanlig. Jeg likte heller ikke oppgave 2, som i all grad handler om du kjenner til FTA. Regner med at det var mange som skrev 211 her. Hva er veien videre da - tenker ...

Hvordan gikk det med deg i runde 2 av Abel? Fikk bare rett på 4,5 og 9, så jeg er ganske skuffet egentlig. Oppgavene i år var riktignok vanskeligere enn før (noen rare etter min mening), og jeg vet at nivået var ganske lavt på en annen ganske god skole, så det er vel ikke så dårlig. Jeg hadde bare ...

Antar det ikke er tilfellet. Da er n=3a\pm 1 og n^2+2=9a^2\pm 6a+1+2=3(3a^2\pm 2a+1) , som bare er primtall for a\in \mathbb{Z} , om 3a^2\pm 2a+1=1 . Denne likheten gir 3a^2\pm 2a=0 Om vi antar a\neq 0 har vi 3a=\mp 2 Som ikke kan stemme. Dermed er eneste mulighet at n er delbar på tre. Om vi derimo...

Her er en til oppfølger, som forhåpentligvis er litt vanskeligere; La $P(x)=-2x^3+48x^2+k$. Hvor mange verdier $k$, finnes det slik at $P(x)$ har tre heltallsrøtter som alle er primtall? Er dette rett? Var litt uventet svar... Skal P ha tre "primnullpunkt", p_1,\: p_2,\: p_3 , må P(x)=-2(...

Jepp, helt rett, vilma. Er nok en av de enklere oppgavene i "The USSR Olympiad Problem Book". Bare å sette x=1 så skal man vel få summen av koeffisientene til polynom. Her er en oppgave som jeg likte godt. "Hvis (3x^2-x-2)^6=a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+...+a_1x+a_0 , hva er a_0+a_2+a_4+...

Her er en oppfølger:
Finn summen av koeffisientene til polynomet man får etter å utvide og samle leddene i produktet
[tex](1-3x+3x^2)^{743}(1+3x-3x^2)^{744}[/tex] .

[tex](2)[/tex]
[tex]p(r_1+r_2+r_3)=p(-5)=114[/tex]

[tex](1)[/tex]
Har at [tex]rs=c/a[/tex] og [tex]r+s=-b/a[/tex].
[tex]cx^2+bx+a=0[/tex]
[tex]cx^2/a+bx/a+1=0[/tex]
[tex]rsx^2-(r+s)x+1=0[/tex]
[tex]x={r+s\pm \sqrt{r^2+2rs+s^2-4rs}\over 2rs}[/tex]
[tex]x={r+s\pm (r-s)\over 2rs}[/tex]
[tex]x={1\over r}\: \vee\: x={1\over s}\:\:\: \blacksquare[/tex]

Induksjon: P_1:\: 7|4^4+2^4+1=256+16+1=259+14=7\cdot 39 , som stemmer (kunne forsåvidt brukt P_0:\: 7|7 ). Antar P_k: 7|4^{3k+1}+2^{3k+1}+1 , og må med det bevise P_{k+1}:\: 7|4^{3(k+1)+1}+2^{3(k+1)+1}+1 . Vet altså at 4^{3k+1}+2^{3k+1}\equiv _7 -1 , og må bevise at kongruensen beholdes når eksponen...

Man vil oppnå 45 av én farge og null av de andre. Da må man oppnå likhet mellom antallene av de fjernede fargene. Vi begynner med differansene 2 og 4 mellom antallene, og vil altså få denne lik 0 mellom hvilke to farger som helst. Operasjonen legger til 2 i antallet til en farge og trekker fra 1 i a...

Hm, kan du forklare hva du mener med at du trekke fra tre ganger fra andre ligning? Og hvorfor får du k=200-3\cdot 58=200-174=26 , hvor er det blitt av 4 foran k? Det dreier seg om addisjonsmetoden. Generelt, om vi har to likninger a=c b=d vil det vi kaller å trekke den første ligningen fra den and...