Ok, kanskje en kort innføring i funksjonallikninger er passelig. Hvem vet om det er flere personer uten erfaring innen funksjonallikninger som leser dene tråden. Funksjonallikninger løses nesten alltid med substutisjoner pluss enkelte lure triks. Jeg går ikke over disse triksene, men jeg kan liste n...

Det stemmer. Minner på nåværende oppgave.

lfe skrev: ↑28/03-2024 12:32 Ny oppgave:
La [tex]\alpha[/tex] være et reelt tall. Finn alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] som tilfredsstiller likningen
[tex]f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)+\alpha xy[/tex]
for alle [tex]x,y\in \mathbb{R}[/tex].

Hei, Jeg skriver i løsningen min at \measuredangle er symbolet for rettede vinkler. Vinkeljakten jeg gjør er altså ikke vanlig vinkeljakt. Vi definerer rettede vinkler slik: La l og m være to linjer som skjærer hverandre. \measuredangle (l,m) er vinkelen målt mot klokken slik at vi starter i l og sl...

Jeg har lagt ut en ny oppgave. Den forrige var litt for vanskelig. Vanligvis prøver vi å holde vanskelighetsgraden lavere.

Ny oppgave:
La [tex]\alpha[/tex] være et reelt tall. Finn alle funksjoner [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] som tilfredsstiller likningen
[tex]f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)+\alpha xy[/tex]
for alle [tex]x,y\in \mathbb{R}[/tex].

Vi viser først et lemma. Lemma: La ABCD være en firkant. Diagonalene AC og BD er ortogonale hvis og bare hvis AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2} . Bevis: Vi viser dette med vektorer. La P=AC\cap BD være origo. Anta at AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2} . Av cosinussetningen får vi \left \| \vec{A} \right \|^{2}+\...

Fant den.
https://www.matematikk.net/matteprat/vi ... 19&t=46992

Du har vel ikke lyst til å delta i Abelmaraton?

Ny oppgave:
La ABCDE være en konveks femkant i det kartesiske plan. Hjørnene på ABCDE er alle gitterpunkter. De Fem diagonalene i ABCDE danner en ny konveks femkant i ABCDE. Vis at det må ligge et gitterpunkt på eller i den lille femkanten.

Vi viser først at f(x)=\sqrt{x} er konkav og at g(x)=\sqrt{x^{x}} er konveks. f''(x)=-\frac{1}{4\sqrt{x^{3}}}<0 , for alle x>0. g'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x^{x}}(ln(x)+1) g''(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x^{x}}(ln(x)+1)^{2}+\frac{1}{2x}\sqrt{x^{x}}>0 , for alle x>0. Av Jensens ulikhet på funksjonen f får vi derm...

Ny oppgave:
Vis at for alle heltall [tex]n\geq 3[/tex] eksisterer det en mengde parvis ulike positive heltall [tex]S=\left \{ x_1, x_2,...,x_n\right \}[/tex] slik at [tex]\left \{ 2,n \right \}\in S[/tex] og [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}=1[/tex].

Løsningene er permutasjonene av (p, q, r) = (101, 103, 2). Vi kan uten tap av generalitet anta at p\geq q\geq r . Vi får dermed pqr\geq 4p> 3p\geq p+q+r . Det betyr at vi kun trenger å se på når pqr=101(p+q+r) . Fra likheten over får vi at en av p,q eller r er lik 101. Vi kan uten tap av generalitet...

Ny oppgave:
La ABC være en trekant med innsenter I. Punktene P, Q og R ligger henholdsvis på linjestykkene AI, BI og CI slik at
[tex]AI\cdot PI=BI\cdot QI=CI\cdot RI[/tex].
Vis at omsenteret til ABC ligger på eulerlinjen til trekant PQR.

Dersom MNQP er syklisk og tangenten til omega i A også er tangenten i A til omsirkelen av AMN, så er vi ferdige fordi de tre linjene i oppgaven må skjære hverandre i potenssenteret til omega, (MNQP) og omsirkelen til AMN. Først ser vi at en homoteti med skaleringsfaktor 1/2 i A sender omega til omsi...

Noen kommentarer: Polynomet i det første innlegget er det syvende syklotomiske polynomet \Phi _{7}(x)=\frac{x^7-1}{x-1} . Beviset mitt utelater en del detaljer. For eksempel at konstantleddet til \Phi _{i}(x) er lik 1 for i større enn 1 og at ord_{p}(n)|p-1 for alle primtall p og heltall n hvor gcd(...

Vi kan bruke syklotomiske polynomer. La \Phi _{n}(x) være det n-te syklotomiske polynomer. Det n-te syklotomiske polynomet er definert som minimalpolynomet der røttene er de n-te primitive enhetsrøttene. \Phi _{n}(x)=\prod_{1\leq k\leq n, gcd(k,n)=1}^{}(x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}) Det betyr at x^{n}-1=...