\[ \int_a^b \lfloor \log_2 u\rfloor\mathop{du}=\lfloor \log_2 b\rfloor\cdot b-\lfloor \log_2 a\rfloor\cdot a+2^{\lfloor \log_2 a\rfloor}-2^{\lfloor \log_2 b\rfloor}.\] Med $a = 50$ og $b = 100$ gir dette at integralet over er lik 318, ikke 286. Det er fordi jeg ikke kan regne geometriske rekker... ...

Utfordring: Finn et generelt uttrykk for $\int_{a}^{b} \lfloor \log_2 x \rfloor {\mathrm d}x$ Antar $1<a<b$. Definer en følge $(d_n)$ ved $d_1=0$, og $d_n=\lfloor \log_2 n\rfloor-\lfloor \log_2 (n-1)\rfloor$ for $n>1$. Ved partiell summasjon er \[ \int_1^x \lfloor \log_2 u\rfloor\mathop{du}=\lfloor...

Problemet her er vel at $\arctan \frac{y}{x}$ ikke er definert på linja $x=0$ i $\mathbb{R}^2$, så det er ikke et skalarpotensial på $\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$. Sant, men kan ikke det fikses ved å bruke potensialet \[ a(\mathbf{x})=\begin{cases}\arctan\left( \frac{y}{x} \right) & x\neq 0\\ \...

En siste bemerkning: Man kan opplagt generalisere argumentet fra løsning 1 til homotetier av $\triangle DEF$ av vilkårlig konstant $k$. Konkurrenspunktet vil være et punkt på eulerlinjen av $\triangle ABC$. For tilfellet $k=2$ (denne oppgaven) er konkurrenspunktet midtpunktet av $OH$, som "til...

1. Brute force med noen enkle observasjoner: Regner ut de første tallene i følgen opp til 25!!, modulo 1000, og får $1,3,15,105, 945, 395, 135, 25, 425, 75, 575, 225, 625,$ Fra og med 25!! er alle tallene i følgen delelige med $5^3=125$. Herfra er det nok å betrakte multipler av 125, og multipliser...

Hva synes dere om årets oppgaver? 1) Når $n$ er et oddetall skriver vi $n!!=n\cdot (n-2)\dotsb 3\cdot 1$. Hvor mange forskjellige restklasser modulo $1000$ får en fra $n=1,3,5,\dotsc$? 2) Omsenteret i en trekant $ABC$ kalles $O$. Punktene $A',B'$ og $C'$ er speilbildene av $O$ i henholdsvis $BC,CA$ ...

Det burde gå helt fint, men det kommer litt an på hvordan du gjør det: En korrekt løsning burde gi full score uansett hvordan oppgaven er løst - hvis ikke så må du klage! En stor del av det å drive med matematikk handler om å være kreativ og finne sammenhenger, og det å bruke andre teknikker enn det...

Er ikke kjent med Lindstrøm, så det virker som det heller er et standard eksempel. :D Om ikke området er sammenhengende så kan heller ikke vektorfeltet ha kontinuerlige partiellderiverte. Tror dog kravet om kontinuerlige partiellderiverte er strengere enn enkelt-sammenhengende. Stemmer dette? Hvorfo...

Dersom vektorfeltet ditt har kontinuerlige partiellderiverte så er påstandene $ \hspace{1cm} \oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = 0 \ \Leftrightarrow \nabla \varphi = \mathbf{F} $ ekvivalente. Hvor $C$ da følgelig er en lukket sløyfe. Og det siste utsagnet sier at $\mathbf{F}$ har en pot...

Oppfølger: For positive $a,b,c$, vis at $\frac1a+\frac1b+\frac1c\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq \frac{9}{a+b+c}$ Den første ulikheten følger av en syklisk sum av \[ \frac1a+\frac1b=f(a)+f(b)\geq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{4}{a+b}, \] som følger av Jensen anvendt på $f(x)=...

Siden ingen posta noen nye, poster jeg ett veldig enkelt ett slik at nestemann kan få ta opp tråden Gitt att$ \hspace{1cm} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \mathrm{d}x }{ x^2 + a^2 } = \frac{ \pi }{ a } \qquad \text{og} \qquad \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \mathrm{d}x }{ (x^2 + a^2)^2 } = \frac{\pi}...

1) Let $n$ be positive integer and let $a-1,a_2,\dotsc,a_n$ be real numbers satisfying $0\leq a_i\leq 1$ for $i=1,2,\dotsc,n$. Prove the inequality \[ (1-a_1^n)(1-a_2^n)\dotsb(1-a_n^n)\leq (1-a_1a_2\dotsb a_n)^n. \] Definér $f(x)=\ln (1-x^n)$ som er konkav for $x\in (0,1)$. AM-GM+Jensen gir da at $...

$(2) \enspace$ La $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$. Vis at $$a^5+b^5+c^5+d^5 \geq abcd(a+b+c+d)$$ Den andre følger direkte av Muirheads ulikhet siden $(5,0,0,0)\succ (2,1,1,1)$; alternativt kan man bruke AM-GM. Muirhead krever vel symmetriske summer, mens i ulikheten er summene syklisk, eller er det noe ...

Uansett, her er noen oppfølgere $(1)\enspace$ La $a,b,c$ være lengden til sidene i en trekant. Vis at $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac32$$ $(2) \enspace$ La $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$. Vis at $$a^5+b^5+c^5+d^5 \geq abcd(a+b+c+d)$$ $(3) \enspace$ La $a,b,c \in \mathbb{R}^+$...

Betingelsen gir at abc=ab+bc+ca og at 3=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} , som er det harmoniske gjennomsnittet. Fra AM-GM-HM vet vi da at a+b+c\geq 9 og at abc\geq 27 . Dermed er (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=2abc+a+b+c+1\geq 64 , som skulle vises. Fint. Det at $a,b,c$ er sidel...