Det kan godt være mulig at jeg har misset ut på et mer elegant bevis enn som så. Det skulle ikke overraske meg hvis det er mulig å gjøre dette ikke-konstruktivt, ettersom hele oppgaven baserer seg egentlig på faktumet at det finnes nok enkle brøker til å lage så mange av hvilken som helst annen brøk...

Difor lurer eg på om der er ein skrivefeil i oppgaveteksta: Kunne vere freistande å skrive > 3 i staden for >= rota av ( 3 ) på H. S. Elles reagerer eg på første leddet ( c ^2 ) under siste rotteiknet på V. S. For å bevare symmetrien i uttrykket må første leddet vere a ^2 , eller ......... ? Jeg lu...

Gratulerer med tredjeplassen forresten! Takker. Alle var utrolig motiverte på abelfinalen i år, og det var en helt fantastisk opplevelse. Jeg kan ikke huske et år da nivået var høyere på finalen (skjønt jeg ikke har deltatt i så mange). Vi forbereder oss nå til den nordiske konkurransen, og satser ...

En samling av løsninger til oppgave 2 jeg og andre abelfinalister har funnet. Noen er mer like enn andre: La oss skrive om $A',B',C'$ til $X,Y,Z$ fordi jeg er for lat til å taste :P . Løsning 1: La $D,E,F$ være midtpunktene på henholdsvis sidene $AB, BC$, og $CA$ i $\triangle ABC$. Ettersom speiling...

Oppfølger La $a,b,c$ være positive reelle tall slik at $abc=1$. Vis at $$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} \geq \frac32 $$ Ved CS: \[\left( \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\right)\left(\sum_{cyc} a\left(b+c\right) \right) \geq \left(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a}\right)^...

stensrud skrev: 4) For $x,y\ge 0$, vis at
\[2^x+2^y>xy\]

EDIT:Slettet feilaktig bevis.

5) Let $ a, b, c$ be positive real numbers so that $ abc = 1$. Prove that \[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \] Vi gjør substitusjonen $a=x/y, b=y/z, c=z/x$, slik at den ønskede ulikheten blir: \[\dfrac{1}{xyz}\prod_{cyc}\left(...

2) De positive tallene $a,b,c$ tilfredsstiller $a+b+c=1$. Vis at \[ \sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}. \] Vi starter med å homogenisere ulikheten til: \[\sum_{cyc}\left(\sqrt{a^2+\sum_{cyc}ab}\right)\geq \sum_{cyc} a + \sum_{cyc} \sqrt{ab}.\] Dermed er det tils...

Jeg hadde fysikk1 sist høst, og slik jeg følte det gikk fysikk 1 eksamen hovedsakelig ut på å vise at man kunne tolke situasjoner gjennom fysikklovene, aka. være i stand til å trekke konklusjoner om problemer ved å regne med de (eller ved å se på andre egenskaper som proposjonalitet og slikt). Særli...

Skriv $P(x)=\sum_{i=0}^{n} p^{(i)}(x)$. For motsigelse, antat at $P(x)$ oppnår sin minimale verdi ved $x=a$, og $P(a)<0$. Men det impliserer at $P'(a)=P(a)-p(a)<0$, som videre betyr at $P(x)$ må være strengt synkende i $x=a$. Altså har vi en motsigelse. Edit: For å kunne å anta at en global minima e...

Dette følger vel direkte fra Cauchy Schwartz (i engelform) i integralform.

Observasjonen her er at kopp-flip-opersjonen bevarer pariteten på antallet av opp-koppene og ned-koppene. Men ved startposisjonen vår har vi 7 ned-kopper, og det ønskede sluttposisjonen vår har 0 ned-kopper, som har ulik paritet enn 7. Dette er en motsigelse, og dermed finnes det ingen kombinasjon a...

Veldig fint. Legger ved en unødvendig projektiv løsning: La $P$ være skjæringspunktet mellom linjen $AA_2$ og $CQ$. Ettersom $C$ er midtpunktet på $A_2A_3$, samt $A_2A || A_3Q$ (fordi $\angle A_2AQ=\angle A_3 Q A = 90^\circ$), har vi at $C$ også er midtpunktet på $PQ$ (pga $\triangle A_2CP \cong \tr...

Oisann, det gikk litt raskt i svingene ser jeg. Jeg skal se om jeg klarer å mekke et ikke-jalla bevis i løpet av kvelden.

La $ABC$ være en spissvinklet trekant med $AB<AC$. Punktene $A_1$ og $A_2$ ligger på linjen $BC$ slik at $AA_1$ og $AA_2$ er den indre, henholdsvis ytre vinkelhalveringslinjen i $A$ i trekanten $ABC$. La $A_3$ være speilbildet til $A_2$ om punktet $C$, og la $Q$ være et punkt på $AA_1$ slik at $\ang...