$ \hspace{1cm} \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathcal{L}}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( \color{green}{f(x)} - \lambda \color{blue}{g(x)} \bigr) \\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( \color{green}{xy^3} - \lambda( \color{blue}{x^2 + y^2 - 1}) \bigr) = y^3 \frac{...

En enkel måte å sjekke om svaret ditt er riktig på er å sette inn i likningen. Altså du må sjekke om $y' + 0,03y = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(3 + Ce^{-0,03x}\bigr) + \bigl( 3 + Ce^{-0,03x}$ blir likt $0,09$. Dersom det blir det så har du riktig og fasiten feil. Angående hvor ting eventuelt ...

Stemmer godt det =) Gikk litt fort i svingene når jeg klipte og limte inn den forrige parametriseringen. Noen grunn til at du ikke har opprettet bruker enda btw? Går ofte litt greiere å sitere osv da.

Hva har du tenkt og prøvd selv? Vet du hva Lagranges metode er for noe? Metoden går ut på å maksimere en funksjon $f$ under en bi-betingelse $g$. Dette gjøres ved å studere lagrangefunksjonen $\mathcal{L}$ definert som $\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x) - \lambda g(x)$ I ditt tilfellet så er funksjone...

Hvor langt har du kommet, hva har du tenkt og prøvd selv? a) Her kan du bruke at $ \int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\vec F\left( {\vec r\left( t \right)} \right)\centerdot \vec r'\left( t \right)\,dt}} $ Se her http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineI...

Hvordan ser området du skal integrere over ut? På bakgrunn av formen til dette området, samt integranden ville jeg anbefalt deg bytte til polarkoordinater

$ \displaystyle \hspace{1cm}
\iint f(x,y) \,\mathrm{d}(x, y) = \iint f(r \cos \theta,r \sin \theta) \cdot r \,\mathrm{d}(r, \sin \theta)
$

Du kan se det fra figur, f.eks slik https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos15.shtml. Men om denne metoden er enklere blir en annen sak.

Jeg har allerede gitt deg grenesene for $y$, hvordan tror du grensene til $x$ blir? Husk at området du integrerer over ikke er ett kvadrat, men ett triangel

Hvordan har du satt opp dobbelintegralet da? Husk at $x + y \leq 1 \Rightarrow y \leq 1 - x$ Kombinerer vi dette med at $0 \leq y\leq 1$ får vi $0\leq y \leq 1-x$.

https://i.imgur.com/3m2NQ63.png Hvor $\text{Si}(x)$ er definert som sinus-integralet. $\text{Si}(z) = \int_0^z \frac{\sin t}{t} \,\mathrm{d}t$. Som ikke er mulig å beregne eksakt, men kan selvsagt beregnet numerisk. Simpsons, gauss kvadraturer, romberg, trapesmetoden etc. Uansett ikke pensum på vgs...

Dette integralet har ingen elementær antiderivert, er du sikker på at du har skrevet det opp riktig? Erstatter du $\log x$ med $e^{x}$ er integralet mulig å evaluere.

$\hspace{1cm}\sin(u+v) = \sin(u)\cos(v) + \sin(v)\cos(u)$

Husk at de først bruker substitusjon, og deretter delvis integrasjon, to ulike operasjoner (det er med andre ord ikke samme $u$ vi prater om) Om vi har $\hspace{1cm} \int 2u \cdot e^{u} \,\mathrm{d}u $ Så kan vi bruke delvis integrasjon med $\hspace{1cm} \int w\,v' = w\,v - \int w' v $ der $w = 2u$ ...

Hvor resten overlates til leseren som ett påskemysterium (hint: $x \mapsto 2 - u$).

$\hspace{1cm} 2I = \cdots = \int_0^2 1 \,\mathrm{d}x = 2$