AB*CD=BCAD
AD*CB=ABCD
Huh?
Help me plz
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Alann
Sett inn tall for bokstavene slik at multiplikasjonene blir riktige. A, B, C og D er forskjellige tall. Bokstavene skal ha samme tallverdi i begge multiplikasjonene.
AB*CD=BCAD
AD*CB=ABCD
Huh?
AB*CD=BCAD
AD*CB=ABCD
Huh?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Velger du A=2, B=1, C=8 og D=7, blir
AB*CD = 21*87 = 1827 = BCAD og
AD*CB = 27*81 = 2187 = ABCD.
Dette er for øvrig den eneste løsningen av denne "nøtten".
AB*CD = 21*87 = 1827 = BCAD og
AD*CB = 27*81 = 2187 = ABCD.
Dette er for øvrig den eneste løsningen av denne "nøtten".
Tør jeg spørre hvordan du kom frem til denne løsningen?Solar Plexsus skrev:Velger du A=2, B=1, C=8 og D=7, blir
AB*CD = 21*87 = 1827 = BCAD og
AD*CB = 27*81 = 2187 = ABCD.
Dette er for øvrig den eneste løsningen av denne "nøtten".
-
uS=2x10opphøyd i 6 sek ^^
- Cayley
- Innlegg: 70
- Registrert: 07/11-2005 18:18
Her er en annen slik btw: gang 142857 med et tall fra 1-6 så vil du ende opp med de samme tallene 
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi har gitt at A, B, C og D er ulike sifre (i titallsystemet) slik at
(1) AB*CD = BCAD
(2) AD*CB = ABCD
Nå er (1) og (2) ekvivalent med likningene
(3) (10A + B)(10C + D) = 1000B + 100C + 10A + D
(4) (10A + D)(10C + B) = 1000A + 100B + 10C + D.
Trekker vi (3) fra (4), får vi at
(5) (C – A)(D – B) = 9(11A – 10B – C)
Herav følger at
(6) 9│(C – A)(D – B). (b│a betyr at a er delelig med b)
Av (1) ser vi at A, B og C er forskjellig fra 0 (ledende nullere tillates ikke). Anta at D=0. Dermed blir
(7) A(10C + B) = 100A + 10B + C
iht. (4). Nå er A(10C + B) > A(10C + 10) = 10A(C + 1) og 100A + 10B + C < 100A. Disse to ulikhetene i kombinasjon med (7) gir 10A(C + 1) > 100A. Ergo blir C + 1 > 10, i.e. C > 9. Dette er ikke mulig, hvilket innebærer at D<>0. Altså er 0 < A, B, C, D < 10, som igjen betyr at 0<│C - A│<9 og 0<│D - B│<9. M.a.o. er verken C–A eller D–B delelig med 9. Dermed følger det av (6) at
(8) 3│C – A,
(9) 3│D – B.
Videre ser vi av (3) at BD – D er delelig med 10, dvs. at
(10) 10│D(B - 1).
Altså må 5│D eller 5│B–1. La oss formode at 5│D. Denne formodningen innebærer at D = 5. Dette gir B=2 eller B=8 iht (9). M.a.o. blir D(B-1)=5 eller D(B-1) = 35, som ikke er forenlig med (10). Så 5│B–1, dvs. at B=1 eller B=6. Anta at B=6. Ifølge (9) må D=3 eller D=9, som innsatt i (5) gir C=16A–90 eller 2C=17A–90 respektive. I begge tilfellene finner vi kun løsningen A=C=6. Denne motsigelsen medfører at B=1.
Vi observerer at det faktum at A, B, C, D >0 i kombinasjon med (8) og (9) impliserer at (C–A)(D–B)/9 <= 6*6/9 = 36/9 = 4. Dette sett i lys av (6) gir 4 >= 11A–10B–C = 11A–10–C, dvs. at
(11) 11A <= C + 14 < 10 + 14 = 24.
M.a.o. er A<=2, som igjen betyr at A=2 (ettersom A>0 og A<>B=1). Av (11) får vi at C >= 11A - 14 = 11*2 - 14 = 22 - 14 = 8, i.e. C>=8. Da må C=8 ifølge (8). Dermed gir (5) at 6(D - 1) = 9*4, dvs. at D = 36/6 + 1 = 6 + 1 = 7. Ved innsetting finner vi at A=2, B=1, C=7 og D=8 (som eneste løsning) tilfredsstiller (1) og (2). Q.E.D.
(1) AB*CD = BCAD
(2) AD*CB = ABCD
Nå er (1) og (2) ekvivalent med likningene
(3) (10A + B)(10C + D) = 1000B + 100C + 10A + D
(4) (10A + D)(10C + B) = 1000A + 100B + 10C + D.
Trekker vi (3) fra (4), får vi at
(5) (C – A)(D – B) = 9(11A – 10B – C)
Herav følger at
(6) 9│(C – A)(D – B). (b│a betyr at a er delelig med b)
Av (1) ser vi at A, B og C er forskjellig fra 0 (ledende nullere tillates ikke). Anta at D=0. Dermed blir
(7) A(10C + B) = 100A + 10B + C
iht. (4). Nå er A(10C + B) > A(10C + 10) = 10A(C + 1) og 100A + 10B + C < 100A. Disse to ulikhetene i kombinasjon med (7) gir 10A(C + 1) > 100A. Ergo blir C + 1 > 10, i.e. C > 9. Dette er ikke mulig, hvilket innebærer at D<>0. Altså er 0 < A, B, C, D < 10, som igjen betyr at 0<│C - A│<9 og 0<│D - B│<9. M.a.o. er verken C–A eller D–B delelig med 9. Dermed følger det av (6) at
(8) 3│C – A,
(9) 3│D – B.
Videre ser vi av (3) at BD – D er delelig med 10, dvs. at
(10) 10│D(B - 1).
Altså må 5│D eller 5│B–1. La oss formode at 5│D. Denne formodningen innebærer at D = 5. Dette gir B=2 eller B=8 iht (9). M.a.o. blir D(B-1)=5 eller D(B-1) = 35, som ikke er forenlig med (10). Så 5│B–1, dvs. at B=1 eller B=6. Anta at B=6. Ifølge (9) må D=3 eller D=9, som innsatt i (5) gir C=16A–90 eller 2C=17A–90 respektive. I begge tilfellene finner vi kun løsningen A=C=6. Denne motsigelsen medfører at B=1.
Vi observerer at det faktum at A, B, C, D >0 i kombinasjon med (8) og (9) impliserer at (C–A)(D–B)/9 <= 6*6/9 = 36/9 = 4. Dette sett i lys av (6) gir 4 >= 11A–10B–C = 11A–10–C, dvs. at
(11) 11A <= C + 14 < 10 + 14 = 24.
M.a.o. er A<=2, som igjen betyr at A=2 (ettersom A>0 og A<>B=1). Av (11) får vi at C >= 11A - 14 = 11*2 - 14 = 22 - 14 = 8, i.e. C>=8. Da må C=8 ifølge (8). Dermed gir (5) at 6(D - 1) = 9*4, dvs. at D = 36/6 + 1 = 6 + 1 = 7. Ved innsetting finner vi at A=2, B=1, C=7 og D=8 (som eneste løsning) tilfredsstiller (1) og (2). Q.E.D.