Sannsynlighet

Her kan du stille spørsmål om oppgaver i matematikk på ungdomsskole og barneskole nivå. Alle som føler at de kan bidra er velkommen til å svare.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
himavari83
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 5
Registrert: 14/10-2021 11:27

1) Vi trekker to tilfeldige kort fra en kortstokk. Hva er sannsynligheten for å trekke en hjerter og en kløver?
Svaret skal bli 13/102, men jeg skjønner ikke hvorfor.

2) Hva er sannsynligheten for at 23 elever ikke har bursdag på samme dag?

Trenger hjelp ASAP
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 453
Registrert: 26/02-2021 21:28

Vedk. punkt 1

Aktuelle hendingar:

H: hjerterkort
K: kløverkort

P( eitt hjerter og eitt kløver ) = P( H K ) + P( K H ) = [tex]\frac{13}{52}[/tex] [tex]\cdot[/tex] [tex]\frac{13}{51}[/tex] + ...........? = [tex]\frac{13}{102}[/tex]

Vedk. punkt 2 :

Hint: Tenk at dei 23 elevane i tur og orden fritt kan velje sin eigen fødseldag slik at denne ikkje "kolliderer" med nokon av dei føregåande.

Lat P( n ) vere sannsynet for at elev nr. n " plukkar ut " ut sin eigen unike fødseldag. Da er

P( 1 ) = [tex]\frac{365}{365}[/tex]


P( 2 ) = [tex]\frac{ 365 - 1 }{ 365 }[/tex]
.
.
.
P( 23 ) = [tex]\frac{ 365 - ? }{365}[/tex]

Produktsetninga for uavhengige hendingar gir

P( ingen overlapp ) = P( 1 ) [tex]\cdot[/tex] P( 2 ) [tex]\cdot[/tex] .................................... [tex]\cdot[/tex] P( 23 ) = [tex]\frac{365P23}{365^{23}}[/tex] = 0.4927 [tex]\approx[/tex] 49. 3 %
himavari83
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 5
Registrert: 14/10-2021 11:27

Hei, takk for svar, men jeg skjønte ikke helt hva du gjorde på nummer 1 etter du skrev + tegnet, og finnes det en formel eller en enklere måte å gjøre disse oppgavene på?
Og kan du forklare hva du gjør på nummer 2?
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 453
Registrert: 26/02-2021 21:28

Kommentar til nr. 1 :

Den samansette hendinga eit H-kort og eit K-kort kan skje på to måtar: Trekkjer først eit H-kort og deretter eit K-kort eller først eit K-kort og deretter eit H-kort.
Sannsynet for å trekkje eit H-kort og eit K-kort blir dermed P( H K ) + P( K H ) . Alternativt kan vi bruke ein hypergeometrisk modell . Da får vi

P( eit H-kort og eit K-kort ) = [tex]\frac{\binom{13}{1}\cdot \binom{13}{1}}{\binom{52}{2}}[/tex]

Nummer 2 : Kan ikkje kome deg i møte , men kanskje finnast det nokon der ute som har ei betre forklaring.

Mvh

Mattebruker
jos
Galois
Galois
Innlegg: 561
Registrert: 04/06-2019 12:01

Uten på noen måte å hevde at det følgende er en "bedre forklaring", kan det virke oppklarende kanskje å ta utgangspunkt i sannsynlighet som forholdet mellom gunstige og mulige tilfeller:
I en boks er det ti kuler. Åtte er røde og to er hvite. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig trukket kule er hvit? Jo, det er antall gunstige tilfeller delt på antall mulige tilfeller. Siden det er ti kuler i boksen, vil det være ti mulige trekk. Men bare to av dem vil være gunstige, det vil si tilfredsstille det aktuelle kjennetegnet: å trekke en hvit kule. Følgelig vil sannsynligheten i dette tilfellet være $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

I oppgaven dreier det seg om 23 elever og spørsmålet om sannsynligheten for at ingen av dem har bursdag på samme dag. Vi ser bort fra skuddår og går ut fra at det er 365 dager i året. Vi går også ut fra at alle dager i året har den samme sannsynlighet for å være fødselsdag for elevene. Hvor mange muligheter får vi? $Elev_1$ har 365 mulige dager som bursdag, og for hver av disse har $elev_2$ også 365 muligheter. Til sammen gir dette 365*365 mulige kombinasjoner for disse to elevene. For tre elever får vi $365*365*365 = 365^3 $. Da innser vi at for 23 elever får vi $365^{23}$ mulige. Hva da med antall gunstige, dvs hvor mange kombinasjoner vi har av fordelinger av bursdager slik at ingen har fødselsdag påp samme dag? $Elev_1$ kan ha bursdag på 365 dager, mens $elev_2$ bare har 364 muligheter tilbake når $elev_1s$ bursdag er gitt. Dette gir tilsammen 365*364 gunstige kombinasjoner. Samme argumentasjon gir 365*364*363 gunstige kombinasjoner for tre elever. For 23 elever får vi da 365*364*363*362* ........*346*345 gunstige. Sannsynligheten for at det ikke skal finnes to elever som har bursdag på samme dag, blir da antall gunstige delt på antall mulige: $\frac{365 * 364* \cdot\,\cdot\,* \,345}{365^{23}}$.
Svar