likning med to ukjente
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Som med alle ligninger, er det to grunnprinsipper som gjennomsyrer alle "metoder" for ligningsløsing:
1. Anvendelse av identiteter:
Her skiftes ett uttrykk ut som vi vet er likt med et annet, uansett hvilke verdier de ukjente størrelsene måtte ha.
For eksempel, gitt ligningssystemet:
x+y=2, 2(x-y)+2y=2, så kan 2.lignings venstre side byttes ut med 2x-2y+2y, som igjen kan byttes ut med 2x.
Dermed oppnås det forenklede likningssystem
x+y=2, 2x=2
2. Overgang til impliserte likninger:
a) Å gange/dele med samme tall på hver side av likhetstegnet.
I likningen 3x=9, så kan vi gange hver side med et vilkårlig, ikke-null tall, for eksempel 7, og få 21x=63. Den nye ligningen MÅ holde, fordi den gamle holdt. I dette tilfellet ville det vært lurest å gange med 1/3, for da oppnås:
1/3*3x=1/3*9, som kan forenkles til 1*x=3, dvs. x=3.
b) Å legge til/trekke fra samme tall på hver side:
Dette er eksempeløvis bakgrunnen for "flytte/bytte"-regelen.
For to ligninger med to ukjente kan grunnprinsipp 2b utnyttes på følgende måte:
Gitt likningssystemet:
x+2y=3, x-2y=1
Fordi annen ligning sier at uttrykket "x-2y" er det samme tallet som "1", så kan vi legge til i første likning "x-2y" på venstre side, og "1" på høyre side.
Da får vi omgjort 1.ligning slik:
x+2y+(x-2y)=3+1
Eller med forenkling:
2x=4, dvs. x=2. Derved får vi at y=1/2, ved innsetting for x=2 i en av de opprinnelige ligningene, og løsing for y.
Grunnprinsippene 1 og 2 er grunnlaget for all ligningsløsing; spesifikke "metoder" er bare kombinasjoner av disse på lure måter.
1. Anvendelse av identiteter:
Her skiftes ett uttrykk ut som vi vet er likt med et annet, uansett hvilke verdier de ukjente størrelsene måtte ha.
For eksempel, gitt ligningssystemet:
x+y=2, 2(x-y)+2y=2, så kan 2.lignings venstre side byttes ut med 2x-2y+2y, som igjen kan byttes ut med 2x.
Dermed oppnås det forenklede likningssystem
x+y=2, 2x=2
2. Overgang til impliserte likninger:
a) Å gange/dele med samme tall på hver side av likhetstegnet.
I likningen 3x=9, så kan vi gange hver side med et vilkårlig, ikke-null tall, for eksempel 7, og få 21x=63. Den nye ligningen MÅ holde, fordi den gamle holdt. I dette tilfellet ville det vært lurest å gange med 1/3, for da oppnås:
1/3*3x=1/3*9, som kan forenkles til 1*x=3, dvs. x=3.
b) Å legge til/trekke fra samme tall på hver side:
Dette er eksempeløvis bakgrunnen for "flytte/bytte"-regelen.
For to ligninger med to ukjente kan grunnprinsipp 2b utnyttes på følgende måte:
Gitt likningssystemet:
x+2y=3, x-2y=1
Fordi annen ligning sier at uttrykket "x-2y" er det samme tallet som "1", så kan vi legge til i første likning "x-2y" på venstre side, og "1" på høyre side.
Da får vi omgjort 1.ligning slik:
x+2y+(x-2y)=3+1
Eller med forenkling:
2x=4, dvs. x=2. Derved får vi at y=1/2, ved innsetting for x=2 i en av de opprinnelige ligningene, og løsing for y.
Grunnprinsippene 1 og 2 er grunnlaget for all ligningsløsing; spesifikke "metoder" er bare kombinasjoner av disse på lure måter.