administrator skrev:Du sier det finnes mye interessant og mange regler..... Har du noe du kan dele med oss?
Ja, skal prøve å gi et lite "kurs" i klassisk plangeometri som omhandler trekanter og sykliske firkanter.
For å få noe særlig ut av dette, er det greit å begynne med det grunnleggende, nemlig trekanter. Enhver trekant kan innskrives i en sirkel, dvs. at det alltid finnes nøyaktig én sirkel som er slik at alle trekantens hjørner ligger på denne sirkelen (ikke innenfor eller utenfor, men på selve sirkelbuen).
Hvis du vil finne sentrum i denne sirkelen, finner du rett og slett skjæringspunktet mellom midtnormalene til sidene i trekanten. De tre midtnormalene vil alltid skjære hverandre i ett punkt, så det holder å konstruere to av dem.
Vi benytter her standardnotasjon, dvs. at vi kaller trekantens sider a, b og c, og at vinkelen som ligger overfor a, kalles A osv.
Radius (R) av trekantens omskrevne sirkel (også kalt omsirkelen), finner vi ved hjelp av dette uttrykket: 2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC.
Jeg vet ikke hvor mye dere kan om sentralvinkler (en sentralvinkel har toppunkt i sentrum av sirkelen) og periferivinkler (har toppunkt på sirkelbuen), men periferivinkelen over en bestemt bue er konstant, og den er halvparten av sentralvinkelen over den samme buen. For å forstå dette, anbefaler jeg at du tegner en sirkel og merker av to punkter, P og Q, på den. De to punktene deler nå sirkelen i to deler, og for å gjøre det enklest mulig, skal du konsentrere deg om den lengste. Hvis du nå merker av et punkt K på denne buen, og trekker linjestykkene PK og QK, vil vinkel PKQ være konstant, dvs at det er samme hvor punktet K ligger på denne buen, for vinkelen vil bli like stor uansett. Tegner du også vinkelen PSQ, hvor S er sentrum i sirkelen, er denne dobbelt så stor.
Som et spesialtilfelle, kan vi tenke oss at P og Q danner endepunktene for en diameter i sirkelen (med fine ord er de da diametralt motsatte). Da er selvfølgelig vinkel PSQ 180 grader, og vinkel PKQ må da bli 90 grader. Det visste dere kanskje fra før... PKQ er nå en rettvinklet trekant, og du kan se at 2R=PQ/sin90=PQ, og det vet vi jo er sant!
Så over til de sykliske firkantene:)
Summen av to motstående vinkler i en syklisk firkant må være 180 grader. Ser du på loven om sentralvinkler/periferivinkler, er dette en relativt enkel sak å vise.
Tegn en sirkel, merk av fire punkter A, B, C og D, og trekk linjestykkene AB, BC, CD og DA. Du har nå en syklisk firkant. Så kan du i tillegg tegne inn diagonalene AC og BD, og kall gjerne skjæringspunktet mellom dem for E. Se nå på vinklene ABD og ACD. De må være like store, av loven om periferivinkler. At vinklene AEB og CED er like store, er opplagt, og vi har derfor at trekantene ABE og CED er formlike (merk: formlike, ikke nødvendigvis kongruente). På tilsvarende måte kan du vise at AED og BEC er formlike.
Pga formlikheten, har vi nå f.eks. at BE/CE=AE/DE, eller at BE*DE=AE*CE. Ser du på tegningen din, ser du at dette er produktene av de delene E deler hver av diagonalene i. Dette produktet er konstant for et bestemt punkt, og kalles punktets potens med hensyn på sirkelen. Lar vi linja gjennom E også gå gjennom sentrum S, får vi at Es potens med hensyn på sirkelen er (R-SE)*(R+SE)= R[sup]2[/sup]-SE[sup]2[/sup]. Altså: hvis vi har en korde gjennom punktet E, er produktet av de to delene E deler korden i, konstant (dette gjelder også hvis E ligger utenfor sirkelen, men det kan vi sikkert ta en annen gang).
En annen ting som gjelder sykliske firkanter, er et spesialtilfelle av Ptolemaios setning: produktet av diagonalene er lik produktsummen av de motstående sider. Altså, i vårt tilfelle: AC*BD=AB*CD+BC*AD
I tillegg har vi et par isoperimetriske resultater:
1. Er omkretsen av en firkant gitt, er det den sykliske firkanten som har størt areal.
2. Er arelaet av en firkant gitt, er det den sykliske som har minst omkrets.
Dessuten finnes det en arealformel for sykliske firkanter. Kaller vi arealet T, sidene a, b, c og d, og vi lar P være halve omkretsen ((a+b+c+d)/2), har vi at T[sup]2[/sup]=(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)
