Et stigeproblem??

[administrator]

Jeg fikk en oppgave på mail i dag. Den er så bra at jeg tror flere kan ha glede av den derfor legger jeg den ut her.

Vi har en stige som er 10 m lang. Langs veggen på et høyt hus ligger en kasse på 1*1*1 meter, altså en kasse formet som en terning. Hvor høyt når stigen på veggen når vi setter den opp over kassen? Vi ønsker å få stigen så høyt som mulig opp på veggen så den må berøre den ytre øvre kanten på kassen.

Det er sikkert flere løsningsmetoder og innspill motaes som vanlig med takk. Dersom du vil prøve selv må du ikke lese videre for her kommer en løsning:
Vi tegner problemet opp sett fra siden og kaller avstanden fra toppen av kassen til toppen av stigen for y og avstanden fra forkant av kassen til der stigen står for x. Vi bruker pytagoras og får
(x+1)[sup]2[/sup]+(y+1)[sup]2[/sup] = 100
x[sup]2[/sup]+ 2x + 1 + y[sup]2[/sup] +2y +1 = 100

Gå tilbake til tegningen av problemet så ser man at vi har følgende proporsjon: y/1 = 1/x dvs. y = 1/x dvs xy = 1 vi bytter nå ut 1 tallene i pytagorasuttrykket med xy og får:
x[sup]2[/sup]+ 2x + xy + y[sup]2[/sup] +2y +xy = 100
Dersom vi ordner uttrykkene litt får vi:
x[sup]2[/sup] + 2xy + y[sup]2[/sup] +2x +2y =100
De tre forste leddene kjenner vi igjen som en kvadratsetning. Vi får:
(x+y)[sup]2[/sup] + 2(x + y) = 100
Vi legger til 1 på begge sider av likhetstegnet for å få kvadratsetningen på venstre side:
(x+y)[sup]2[/sup] + 2(x + y) + 1 = 101
(x+y+1)[sup]2[/sup] =101
x+ y + 1 = [rot]101[/rot]
Vi kan nå benytte proporsjonen vi fant over, vi har to likninger med to ukjente og finner y = 8,93
så må vi huske høyden av kassen og finner at stigen når 9,93 meter opp på veggen.

MVH
Kenneth Marthinsen

[sletvik]

Hvordan kan noen klare å resonere seg fram til løsningen på en slik måte?? Måtte lese deler av løsninga flere ganger før jeg skjønte den, så hvordan i all verden skulle jeg kunne fremskaffe den på egen hånd?!?
Litt imponert...

[Abel]

For å løse en slik oppgave er det klart en fordel å ha løst en del lignende oppgaver før. En virkelig elegant løsning må jeg si ..! Når du løser mange slike oppgaver ser du etterhvert proposjoner mellom trekanter og forbindelser til kvadaratsetninger automatisk. Men det man må huske på når slike problemoppgaver skal løses er at hele løsningen skal man ikke bare finne ut i hodet automatisk! Man formulerer først problemet matematisk før man begynner å rydde slik at man finner løsninger. Når man skal formulere problemet matematisk er poenget og hele tiden finne flere ting som de ukjente utrykker. Så sletvik, når du skal løse slike problemer er det ikke nok å kjenne til matematikken for å løse dem, man må også kunne bruke den. Det kommer med trening, som alt annet