matematikk.net

Noen som kan forklare meg hvordan man løser en andregradslikning ved å utvide til fullstendig kvadrat?

Det er viktig å ha kontroll på disse setningene før du begynner:

Første kvadratsetning:[tex]a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2[/tex]
Andre kvadratsetning:[tex]a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2[/tex]
Konjugatsetningen: [tex]a^2-b^2 = (a+b)(a-b)[/tex]

Her et eksempel:

Ideen er å omforme uttrykket til en differanse av to kvadrat.
Ta f.eks.

[tex]x^2 - 6x + 8[/tex]

Vi tar tak i førstegradsleddet, i dette tilfellet -6x og skriver om slik:

[tex]-6x = -2\cdot3\cdot x[/tex]

Hele likningen blir da:

[tex]x^2 -2\cdot3\cdot x + 8[/tex]

Her kommer trikset. Likningen endrer ikke verdi hvis vi både legger til og trekker fra 3^2. (3^2 kommer av 3-tallet i leddet -2*3*x) Vi legger til dette leddet for å kunne faktorisere en del av uttrykket om til et kvadrat ved hjelp av første eller andre kvadratsetningen.

[tex] x^2 -2\cdot3\cdot x + 8 = x^2 -2\cdot3\cdot x + 8 +3^2 - 3^2 =(x^2 -2\cdot3\cdot x+3^2) + (8-3^2) [/tex]

Ved å bruke andre kvadratsetning får vi at:

[tex]x^2 -2\cdot3\cdot x+3^2 = (x-3)^2[/tex]

Da får vi at:

[tex] x^2 -2\cdot3\cdot x + 8 =(x^2 -2\cdot3\cdot x+3^2) + (8-3^2) = (x-3)^2 + (8-3^2) =(x-3)^2 - 1 [/tex]

Vi har skrevet om uttrykket til en differanse av kvadratall. Dette kan vi faktorisere!

Ved å bruke konjugatsetningen får vi nå at:

[tex] x^2 -6x + 8 = (x-3)^2 - 1 = (x-3)^2 - 1^2 = ((x-3)+1)((x-3)-1) = (x-2)(x-4)[/tex]

Vi har nå faktorisert uttrykket vi begynte med og kommet frem til at:

[tex]x^2 -6x + 8 = (x-2)(x-4)[/tex]

Å løse likningen

[tex]x^2 -6x + 8 = 0[/tex]

blir dermed det samme som å løse likningen

[tex](x-2)(x-4) = 0[/tex]

Produktsetningen forteller oss da at

[tex](x-2)=0 [/tex] eller [tex] (x-4)=0[/tex]

[tex]x=2 [/tex] eller [tex]x=4[/tex]

Hvis du lurer på enkelte steg eller ikke forstod fremgangsmåten helt er det bare å spørre så kan jeg utdype. Kan godt skrive et til eksempel.

Klarer du f.eks. å bruke metoden på dette uttrykket?

[tex]x^2 - 4x -5[/tex]