Vis at

[Wilja]

Jeg skal vise uten induksjonsbevis at n[sup]3[/sup]-n er delelig med 3.

Synes det er vanskelig å vite hva som regnes som å vise, er det nok å sette inn ulike verdier for n?

Wilja

[administrator]

Hei!
Nei, det er ikke nok å bare sette inn, du må vise at det gjelder generelt.
Induksjonsbevis består av to deler, et grunnlag og et induksjonstrinn, la oss se:
Vi ser at uttrykket må ha en n som er større eller lik 2 for å gi mening.
Vi setter inn n=2 og får
8-2 = 6
6 er delelig med 3 så grunnlaget er i orden. Nå må vi vise at det gjelder for alle n større enn 2 også, altså induksjonstrinnet som av og til kan være noe vannskeligere.
1: (k[sup]3[/sup]-k):3 er element i N og 2: ((k+1)[sup]3[/sup]-(k+1)):3 er element i N

Ideen er at når vi viser at det er riktig for k og k+1 får vi en uendelig rekke med implikasjoner som gir gyldihet for k+2, k+3 osv
(jeg er nok ikke helt formell her)
Vi får fra 1:

(k[sup]3[/sup]-k) =3t
og fra 2:
((k+1)[sup]3[/sup]-(k+1))= (k[sup]3[/sup]-k) +3(k[sup]2[/sup]+k) som innsatt fra 1gir
3( t + k[sup]2[/sup]+k) Som viser at uttrykket er delelig med 3.

Håper jeg greide formiddle noe av tankerekken her og at det ikke er noen regnefeil!
MVH
Kenneth Marthinsen

[Wilja]

Du uttrykte deg greit, men oppgaven min poengterer at jeg ikke skal bruke induksjonsbevis...

Wilja

[administrator]

Uff!!
Ja, det ser jeg nå... Må tenke litt men kommer tilbake når jeg får tid om jeg har noe fornuftig å melde.

MVH
Kenneth

[administrator]

Hei igjen!

Desom et tall er delelig på tre må det bestå av en faktor som er delelig på tre.
Uttrykket n[sup]3[/sup]-n =n (n-1)( n+1)

betår som man ser av tre faktorer. En av disse vil som man ser være delelig på 3 dersom n er element i N, altså er n[sup]3[/sup] - n altid delelig på 3.

MVH
Kenneth Marthinsen