Heltallsmetode

Her kan du stille spørsmål om oppgaver i matematikk på ungdomsskole og barneskole nivå. Alle som føler at de kan bidra er velkommen til å svare.

Heltallsmetode

Innlegg AnneMA » 09/02-2015 19:29

Min datter skal ha prøve i likninger med en ukjent.
Eks x2 + x - 132 = 0
Hun skal bruke heltallsmetoden og jeg lurer på hvordan en regner det ut.
Noen som kan hjelpe meg?
Resonerte meg fram til svaret 11, men hvordan regne det ut etter denne metoden?
AnneMA offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 09/02-2015 19:14

Re: Heltallsmetode

Innlegg pi-ra » 09/02-2015 20:56

Er det abc-formelen du snakker om?
http://matematikk.net/side/Andregradslikninger
pi-ra offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 173
Registrert: 15/11-2014 02:18

Re: Heltallsmetode

Innlegg skf95 » 10/02-2015 13:01

Usikker på hva du mener med heltallsmetoden. Den vanligste metoden er ABC-formelen som pi-ra nevnte. En alternativ, og langt raskere, metode, er det jeg kaller "snareveien" (var det min mattelærer kalte det :) ). Denne er veldig effektiv på andregradslikninger med lave koeffisienter - blir de for store kan det bli vrient. Dessuten er det en stor fordel at løsningene er heltall. Uansett; slik gjøres det:

En generell andregradslikning på formen [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] har løsningene [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex]. Da vet vi følgende:

[tex]x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}[/tex]
[tex]x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]

Ofte er [tex]a=1[/tex], slik som i oppgaven over, og da blir det hele enda enklere.

I oppgaven over trenger vi altså finne to tall, der produktet er [tex]-132[/tex] og summen er [tex]-1[/tex]. Ofte vil en med en gang kunne se hvilke tall dette er ([tex]11[/tex] og [tex]-12[/tex]), men siden [tex]-132[/tex] er et veldig "stort" tall (absoluttverdigmessig), må en kanskje sette opp et lite likningssett.

Hadde vi istedet hatt f.eks. likningen [tex]x^2+2x+1=0[/tex], ser man kjapt at løsningene er [tex]x_1=x_2=-1[/tex] fordi [tex]-(-1-1)=2[/tex] og [tex]-1 \cdot -1 =1[/tex].
skf95 offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 421
Registrert: 17/12-2010 14:35

Re: Heltallsmetode

Innlegg robinboy » 17/02-2015 23:36

AnneMA skrev:Min datter skal ha prøve i likninger med en ukjent.
Eks x2 + x - 132 = 0
Hun skal bruke heltallsmetoden og jeg lurer på hvordan en regner det ut.
Noen som kan hjelpe meg?
Resonerte meg fram til svaret 11, men hvordan regne det ut etter denne metoden?


Jeg kan heltallsmetoden!
Men oppgaven din var litt vanskelig, så jeg kan vise et litt enklere eksempel først:

[tex]x^{2} + 8x + 15 = 0[/tex]
I dette eksempelet vet jeg at jeg kan faktorisere uttrykket til å bli:
(x + 5)*(x + 3) = 0
Dette vet jeg fordi jeg har ganget sammen 9000 parenteser og sett på hva som skjer når jeg ganger dem sammen!
Det jeg da har kommet til er at 5 + 3 = 8 og 5*3 = 15 (Gang ut parentesene og se om det stemmer. Gjør det!)

I allefall: Det er veldig lett å løse:
(x + 5)*(x + 3) = 0
Det må nemlig være 0 inni en av parentesene for at du skal få 0 når du ganger dem sammen.
Vi får derfor to løsninger x = -5 og x = -3

Dette må dere lære barna deres, for dette er matematikk, mens abc formelen alt for ofte er matemagi!

Ok, tilbake til oppgaven:

[tex]x^{2} + 1x - 132[/tex]
Vi vil ha dette på formen
(x + noe)*(x + noeannet) = 0
Jeg vet (fordi jeg har ganget sammen alt for mange parenteser i mitt liv) at noe + noeannet skal bli 1
Og at noe * noeannet skal bli -132

Her må man tenke litt sjæl...... Og jeg får da:
(x + 12)*(x -11) = 0
Fordi 12 - 11 = 1
Og 12*(-11) = -132

Og svaret på oppgaven må da bli:
at x = 11 og x = -12

Og igjen: Hvis dere ikke kan dette når dere går ut av ungdomsskolen, så må dere si at mammaen deres MÅ lære dere det!

Spør om noe er uklart!

Ivan
Fremmad mot vannvidd og ære
robinboy offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 18/10-2006 19:52

Re: Heltallsmetode

Innlegg linlin » 21/04-2019 20:22

robinboy skrev:
AnneMA skrev:Min datter skal ha prøve i likninger med en ukjent.
Eks x2 + x - 132 = 0
Hun skal bruke heltallsmetoden og jeg lurer på hvordan en regner det ut.
Noen som kan hjelpe meg?
Resonerte meg fram til svaret 11, men hvordan regne det ut etter denne metoden?


Jeg kan heltallsmetoden!
Men oppgaven din var litt vanskelig, så jeg kan vise et litt enklere eksempel først:

[tex]x^{2} + 8x + 15 = 0[/tex]
I dette eksempelet vet jeg at jeg kan faktorisere uttrykket til å bli:
(x + 5)*(x + 3) = 0
Dette vet jeg fordi jeg har ganget sammen 9000 parenteser og sett på hva som skjer når jeg ganger dem sammen!
Det jeg da har kommet til er at 5 + 3 = 8 og 5*3 = 15 (Gang ut parentesene og se om det stemmer. Gjør det!)

I allefall: Det er veldig lett å løse:
(x + 5)*(x + 3) = 0
Det må nemlig være 0 inni en av parentesene for at du skal få 0 når du ganger dem sammen.
Vi får derfor to løsninger x = -5 og x = -3

Dette må dere lære barna deres, for dette er matematikk, mens abc formelen alt for ofte er matemagi!

Ok, tilbake til oppgaven:

[tex]x^{2} + 1x - 132[/tex]
Vi vil ha dette på formen
(x + noe)*(x + noeannet) = 0
Jeg vet (fordi jeg har ganget sammen alt for mange parenteser i mitt liv) at noe + noeannet skal bli 1
Og at noe * noeannet skal bli -132

Her må man tenke litt sjæl...... Og jeg får da:
(x + 12)*(x -11) = 0
Fordi 12 - 11 = 1
Og 12*(-11) = -132

Og svaret på oppgaven må da bli:
at x = 11 og x = -12

Og igjen: Hvis dere ikke kan dette når dere går ut av ungdomsskolen, så må dere si at mammaen deres MÅ lære dere det!

Spør om noe er uklart!

Ivan


Ok, kom borti denne tråden fordi jeg skal snart ha tentamen. Vi har fått oppgaver og løsningsforslag fra tidligere eksamener og slikt, så jeg vet at oppgaven der er snakk om skal løses med heltallsmetoden. Det idiotiske er at heltallsmetoden ikke står skrevet i læreboka, så måtte søke meg fram på nettet.

Greit, til poenget:
Når du skriver
(x + 5)*(x + 3) = 0
Det må nemlig være 0 inni en av parentesene for at du skal få 0 når du ganger dem sammen.
Vi får derfor to løsninger x = -5 og x = -3

Så sier du at det må være 0 inni en av parentesene, jeg lurte på om du kunne forklare litt nærmere? Hvor skal liksom 0 være? Eller er det bare slik at x1(altså 5 her) og x2(3) bytter fortegn??

Oppgaven min er slik:
x^2 - 5x + 6

Jeg får da (x-5)(x+6)

Oppgaven spør om nullpunkt, og svaret blir: x=5 eller x=-6
Så igjen, skal man bare bytte fortegn?

Forventer ikke svar i og med at denne tråden er 4 år gammel, men setter stor pris på svar uansett :D
linlin offline

Re: Heltallsmetode

Innlegg Aleks855 » 21/04-2019 20:40

Du har fått $(x-5)(x+6) = x^2 - 5x + 6x - 5\cdot6 = x^2 +x - 30$, så vi ser at noe har gått galt her.

Vi er ute etter to tall $m, n$ slik at $m+n = -5$ og $m\cdot n = 6$.

Gitt $x^2 - 5x + 6$ har vi at $(-2) + (-3) = -5$ og vi har $(-2) \cdot (-3) = 6$, så tallene $-2$ og $-3$ fungerer her.

Altså har vi $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Å finne ut dette er bare det motsatte av å løse opp parentesene. Hvis du løser opp parentesene nå, så finner du at dette stemmer, og det vi har gjort er akkurat dette, men baklengs.

Nå som vi vet at funksjonen er $(x-2)(x-3)$, så er det lett å se at hvis $x=2$, så blir hele greia lik $0$. Sett inn og prøv. Tilsvarende ser vi at hvis $x=3$, så blir også hele greia lik $0$.

Altså har vi nullpunktene $x=2, \ x=3$.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5706
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Heltallsmetode

Innlegg linlin » 22/04-2019 11:01

Aleks855 skrev:Du har fått $(x-5)(x+6) = x^2 - 5x + 6x - 5\cdot6 = x^2 +x - 30$, så vi ser at noe har gått galt her.

Vi er ute etter to tall $m, n$ slik at $m+n = -5$ og $m\cdot n = 6$.

Gitt $x^2 - 5x + 6$ har vi at $(-2) + (-3) = -5$ og vi har $(-2) \cdot (-3) = 6$, så tallene $-2$ og $-3$ fungerer her.

Altså har vi $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Å finne ut dette er bare det motsatte av å løse opp parentesene. Hvis du løser opp parentesene nå, så finner du at dette stemmer, og det vi har gjort er akkurat dette, men baklengs.

Nå som vi vet at funksjonen er $(x-2)(x-3)$, så er det lett å se at hvis $x=2$, så blir hele greia lik $0$. Sett inn og prøv. Tilsvarende ser vi at hvis $x=3$, så blir også hele greia lik $0$.

Altså har vi nullpunktene $x=2, \ x=3$.


Oi, takk for så raskt svar!

Det gir mening det du skriver, men i fasiten står det at nullpunktene er x=-6 og x=5. Da antar jeg at fasiten er feil da?

Uansett så forstod jeg heltallsmetoden mye bedre nå, takk!
linlin offline

Re: Heltallsmetode

Innlegg Aleks855 » 22/04-2019 12:32

Ja, det er fort gjort å vise at $x=(-6)$ og $x=5$ ikke gikk nullpunkter for polynomet.

Med $x=5$ får vi $5^2 - 5(5) + 6 = 25 - 25 + 6 = 6\neq 0$, så det er en fasitfeil ja.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5706
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester

cron