Sirkel, virkårlig punkt og tangent gjennom punkt

[stubbscroll]

Gitt en sirkel med radius 1 (for enkelthets skyld), et vilkårlig punkt P utenfor sirkelen og en linje som går igjennom punkt P og som tangerer sirkelen... Hvordan kan man regne ut tangeringspunktet mellom sirkelen og linjen på en enkel måte?

Jeg leser matematikk 2MX som privatist for tiden, og har ikke hatt undervisning i 1MA (da jeg gikk handel og kontor)... Har jeg muligens gått glipp av noe i 1MA som kunne ha løst ovenstående?

[administrator]

Hei!
Kurset du kaller 1MA heter nå 1MX.
Går ut fra at du kjenner de tigonometriske funksjonene. Om ikke kan du søke på leksikonet vårt å lære dem der.

Tegn en sirkel med sentrum i S og radius r.

Tegn et vilkårlig punkt P og trekk linjen gjennom S og P.

I S konstruerer du en linje vinkelrett på SP. Linjen skjærer gjennom sirkelbuen i begge rettninger.

Tegn inn tangentene til sirkelen gjennom P. Linjen normalt på SP treffer tangentene i N og M.

Konstruer en normal til hver av tangentene som begge skal gå gjennom S.

Dersom jeg er klar i min instruksjon og du er nøyaktig treffer normalene til tangentene i sirkelbuen og disse kaller du O og Q.

Trekantbetraktninger gir deg forholdet mellom PSN og SPO (eventuelt PSM og SPQ) . Ved tignonometri finner du de aktuelle vinkler og kan beregne rettningen fra sentrum av sirkelen og til punket på buen der tangeringen skjer, uttrykt ved r og SP.

Ble dette noe klarere??

MVH
Kenneth M

[stubbscroll]

Hei!

Takk for meget raskt og utfyllende svar! Men jeg er dessverre redd for at jeg ikke klarte å følge hele forklaringen med mine begrensede trig-kunnskaper.

Jeg har fulgt dine instrukser, og konstruert sirkel, punkt og tangent, der N er tangeringspunkt, laget en normal til tangeringspunktet gjennom S til O (slik at det blir 180[sup]o[/sup] mellom N og O). Problemet er at jeg vet ikke hvordan jeg skal bruke trigonometri videre for å regne ut vinkelen PSN og lengden på linjestykket NP, da alt jeg vet er lengden på SN=r og SP...

Jeg ville vært evig takknemlig om du kunne vist meg hvordan du regner ut vinkel PSN der radius=1 og punkt P er 2r unna sirkelens sentrum.

[administrator]

Hei!
Du bør nok lære deg litt trigonometri, det kan være kilde til mange gleder (og frustrasjoner).....Vi har litt om det i leksikonet vårt, og følger du linkene våre til eksterne sider vil du finne mange beskrivelser som er mer utfyllende.

Vel, så til saken:
Dersom r = 1 blir jo 2r lik 2.

Avstanden fra P til s er altså 2, tegn dette linjestykket. Tegn så inn begge tangentene. Tegn så inn linjestykkene fra sirkelens sentrum til der på buen tangentene treffer. Nå har du laget to rettvinklede trekanter med de rette vinklene på sirkelbuen. Linjen SP (den som er 2 (et eller annet)) er hypotenus i begge trekantene. Linjene som går fra sirkelens sentrum er begge de vi kaller katet, i dette tilfellet motstående katet til vinkelen som dannes mellom linjen SP og tangenten.

Sinus defineres som forholdet mellom motstående katet og hypotenusen:
Vi har altså

Sin v = 1/2 som fører til at v =sin[sup]-1[/sup](1/2) som medfører av v = 30 grader.
Som du ser av figuren vil vinkelen v avta når punktet P fjerner seg fra sirkelen og motsatt når P nærmer seg.

Håper det ble klarere nå, men som sagt skaff deg oversikten, lån en mattebok for 1MX påp biblioteket og les deg opp. Det bør være en smal sak om du driver med 2MZ og er litt over middels interessert

MVH
Kenneth

[stubbscroll]

Jeg fikk det til!

Etter den siste posten så jeg at de tre punkene danner en rettvinklet trekant, noe som gjør bruk av trigonometri LITT lettere... Jeg ble nok lurt av min egen tegning gjort uten passer og linjal, der normalen fra tangenten ikke var i nærheten av å passere sirkelens sentrum. 8) Føler meg ganske dum som ikke så dette tidligere...

Uansett, takk for rask og bra hjelp! Jeg skal prøve å ikke overse elementære ting i fremtiden hvis/når jeg lurer på mer!