Tallrekker

Her kan du stille spørsmål om oppgaver i matematikk på ungdomsskole og barneskole nivå. Alle som føler at de kan bidra er velkommen til å svare.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Oppgave

En oppgave jeg tenkte dere kunne hjelpe med svaret på :)

Det er en sirkel i midten av en femkant og sirkel i hvert av hjørnene av femkanten.

I sirklene skal det fylles inn et tall og enten via addisjon eller multiplikasjon skal tallene i sirklene bli summen i trekanten av sirklene. Naturligvis påvirkes tallene i sirkelen nabotallet i begge retninger venstre og høyre.

Tallene er som følger:

60 - 43 - 34 - 99 - 27 (i denne rekkefølgen)
LuckyMatte
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 09/02-2018 12:03

Lagde et nytt svar under, gammelt svar i spoiler, men ikke les det, scroll ned heller ;)
[+] Skjult tekst
Husker ikke at vi fikk så vanskelige oppgaver da jeg gikk på ungdomsskolen :P Var litt utydelig hva du mente men har løst oppgaven slik jeg tolket den og gitt steg for steg, har jeg tolket oppgvaen feil så er svaret selvsagt feil, men selv da bør du kunne se metodikken og siden oppgaven er alt for vanskelig for folk på deres nivå er nok "trikset" med faktorisering "løsningen" uansett hva oppgaven er 8-)

Jeg tolker det slik at du skal løse dette:

X1 (+/*) X2 (+/*) Z = 27
X2 (+/*) X3 (+/*) Z = 60
X3 (+/*) X4 (+/*) Z = 43
X4 (+/*) X5 (+/*) Z = 34
X5 (+/*) X1 (+/*) Z = 99

minst 5 av disse 10 likningene må stemme da

(1) X1 + X2 + Z = 27
(2) X2 + X3 + Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34
(5) X5 + X1 + Z = 99


(6) X1 * X2 * Z = 27
(7) X2 * X3 * Z = 60
(8) X3 * X4 * Z = 43
(9) X4 * X5 * Z = 34
(10) X5 * X1 * Z = 99

(dersom det faktisk kan alternere a + b * c = x og ikke bare + + eller * * blir det 20 likninger istedenfor ikke bare 10... men antar og håper at de mener at det er a+b +c eller a*b*c som er mulighetene)

Undersøker disse tallene kan de faktoriseres? (om de ikke kan faktoriseres i 3 deler må de være resultat av addisjon istedenfor multiplikasjon og da kan vi eliminere multiplikasjonslikningene

99 = 3 * 3 * 11
34 = 2 * 17 (FÅR IKKE DELT I 3 MULTIPLIKASJONER)
60 = 4 * 5 * 3
43 = 43 (PRIMTALL)
27 = 3* 3* 3

Gir disse likningene som sikre
x3 + x4 + z = 43
X4 + X5 + Z = 34

For de 3 andre likningene vet vi ikke om det er addisjon eller multiplikasjon vi skal bruke, enda


La oss prøve oss frem litt og se om ting faller på plass, vi ser at det kan være 3*3*3 = 27 dersom det er multiplikasjon som skal være der, da har vi x1 = 3 , x2 = 3, z = 3

x1 = 3
x2 = 3
z = 3

x5 + 3 + 3 = 99 vs x5 * 3 * 3 = 99 -> x5 = 93 vs x5 = 11
x5 = 11 OR 93 -> x4 + 11 + 3 = 34 -> X4 = 20

x3 + x4 + z = 43
Prøver x1 = 3 x2 = 3 z = 3
-> x5 = 11 (11*3 * 3 = 99)
-> x4 = 20 (20 + 11 + 3 = 34)
-> x3 = 20 (20 + 20 + 3 = 43)

Gikk nesten, alle likninger bortsett fra 1 går opp nå men vi ender opp med 20 * 3 * 3 = 60 som ikke går hverken med addisjon eller multiplikasjon, dermed har vi funnet ut at x1 = x2 = z = 3 IKKE gir riktig svar, vi må forsøke med noe annet =)

z = 1 er det mest naturlige å forsøke da, z = 1 ->
x1 + x2 + 1 = 27 ELLER x1 * x2 * 1 = 27, gir X1 = 26-x2 ELLER x1 = 9 , x2 =3, ELLER x1 = 3, x2 = 9
x3 + x4 + 1 = 43 -> x3 = 42 - x4
x4 + x5 + 1 = 34 -> x4 = 33 - x5
99 er så høyt tall at dette trolig er resultat av multiplikasjon gitt de andre tallene så langt, la oss anta det i utgangspunktet og se hva som skjer
x5 * x1 * 1 = 99 -> x5 * (3 ELLER 9 ELLER (26-x2) ) * 1 = 99, GIR x5 = 33 ELLER 11 ELLER 99/(26-x2) HVIS 99/26-x2 er et helttall som x5 da blir, men det skjer vel ikke vil jeg tro..

Okei, la oss prøve diee alternativene ut, vi starter med z = 1, x1 = 9, da må x5 = 11, det gir x4 = 22, det gir x3 = 20, det gir x2 = 3, setter opp alle likningene for å sjekke at dette går opp:

9 * 3 * 1 = 27
3 * 20 * 1 = 60
20 + 22 + 1 = 43
22 + 11 + 1 = 34
11* 9 * 1 = 99

Jackpot ! ;)
Vedlegg
femkantopg.png
femkantopg.png (29.84 kiB) Vist 2377 ganger
Sist redigert av LuckyMatte den 23/02-2018 22:42, redigert 2 ganger totalt.
LuckyMatte
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 09/02-2018 12:03

Kom til å tenke på denne oppgaven igjenn, ser at jeg tenkte feil på løsningsmetoden min (selv om jeg fikk et gyldig og trolig riktig svar til slutt, etter min tolkning av oppgaven), siden en kan gange med 1, så det var feil av meg å eliminere de to likningene som jeg tok vekk fordi de ikke kunne faktoriseres, 43*1*1 er jo en mulighet som gir 43 f.eks selv om det er primtall, jeg tenkte ikke over at å gange med 1 var et alternativ, jeg hadde flaks og derfor gikk det bra, de var faktisk ugyldige de likningene jeg fjerna, men jeg kunne like gjerne gått meg inn i et blindspor med den gale antagelsen jeg hadde der og fjernet den gyldige likningen og blitt stående med en uløselig en som jeg trodde var gydlig og ikke kommet i mål.

Så da blir en sittende med 10 likninger (evt 20 avhengig av tolkning) hvor et ukjent antall av dem (minst 5 av dem) er gyldige, og med 6 ukjente, det er jo ikke helt bra... slike er vanskelige å løse, men en får suge ut alt av informasjon og utnytte at minst en i hvert likningspar må være korrekte det ligger jo litt informasjon i det, og anta positive helttall og fikle frem og tilbake og en får eliminert ihvertfall 3 likninger tilslutt så du ender med et par alternative variabelverdier som må prøves ut og elimineres før du kommer i mål

Fortsatt litt kronglete og uelegant løsning ikke helt fornøyd :| , godt mulig jeg enten feiltolket oppgaven eller overser et triks for å forenkle ting, men fikk ihvertfall rettet opp i feilen jeg gjorde og fikk et gyldig svar gitt oppgavetolkning så det får vel være bra nok :P


(1) X1 + X2 + Z = 27 og/eller (6) X1 * X2 * Z = 27
(2) X2 + X3 + Z = 60 og/eller (7) X2 * X3 * Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43 og/eller (8) X3 * X4 * Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34 og/eller (9) X4 * X5 * Z = 34
(5) X5 + X1 + Z = 99 og/eller (10)X5 * X1 * Z = 99


La oss omskrive (6) til (10) for å se om vi kan utnytte at (vi antar) x1 x2 og z etc må være positive heltall til å se om vi kan dra noen slutninger om hvilke mulige gydlige alternativer vi har dersom disse likningene er gyldige

(6): X1 = 27/(Z*X2) , z*X2 må altså være enten 27, 9, 3 eller 1 det gir følgende muligheter z = 1 og X2 = (1,3,9,27), ELLER z=3 og X2 = (1,3,9), ELLER z = 9 og X2 = (1,3), ELLER z = 27 og X2 =1
(7): X2 = 60/(z*X3) , z*X3 må altså være enten 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3 , 2, 1, gir veldig mange kombinasjoner bla.a z= hvilket som helst av nevnte tall, ELLER X3 = hvilket som helst av nevnte tall
(8): X3 = 43/(Z*X4) , z*X4 må altså være 43, gir z = 1 og x4 = 43, ELLER z = 43 og x4 = 1
(9): x4 = 34/(z*X5) , z*X5 må altså være enten 1, 2, 17 eller 34, gir z=1 og x5 =(1,2,17,34), ELLER z=2 og X5 =17, ELLER z = 17 og X5 =2, ELLER z = 34 og X5 = 1
(10): x5 = 99/(z*X1) , z*X1 må altså være 99, 33, 11, 9, 3, 1, gir mange kombinasjoner bla z1 =(99, 33, 11, 9, 3, 1), ELLER X1 = (99, 33, 11, 9, 3, 1)

Siden vi antar at det er snakk om positive helttall for alle ukjente betyr det at likningene (1) til (5) setter maksbegrensninger for hvor høy tallet Z kan være, x1 + x2 + Z = 27 gjør at z må være 25 eller lavere om disse likningene er gydlige

(1) gir z < 26, (2) gir z < 59, (3) gir z < 42, (4) gir z < 33, (5) gir Z< 98

Fra likning (8) fant vi at z enten må være 1 eller 43 dersom den likningen er gyldig, men hverken likning (1) eller likning (6) kan være gyldige med z=43 og minst 1 av dem må være gyldige, dermed vet vi at enten z = 1 og/eller at likning (8) er ugyldig. Z=34 kan elimineres som mulig alternativ for (9) av samme grunn

Ved å sammenlikne gyldige Z verdier vi fant i (6)-(10) kan vi trekke noen konklusjoner

z=17 er kun potensielt gyldig i (9) så det er kun en mulighet dersom (6) og (7) og (8) og (10) alle er ugyldige), men fra (9) ser vi at med z = 17 har vi X4*X5 = 2, gir x4 =1 OG x5 = 2 ELLER x4 =2 OG x5 = 1
siden (6) og (10) må være ugyldige kan vi sette dette inn i (5) og så (1) som da må være gyldige, med z=17 og x5 = 1 ELLER 2, inn i (5) får vi x1 = 80 ELLER 81, setter vi x1 = 80 ELLER 81 inn i (1) går det ikke,, altså er z=17 ikke en gyldig mulighet

Da sitter vi igjen med z=1 eller z=2 som gyldige alternativer for (9), med tilhørende x5 = 34 ELLER x5 = 17 som muligheter. Men vi vet at enten må (5) eller (10) være gyldige, med x5 = 34 eller 17 kan aldri (10) bli gyldig, og skal det gjøre (9) gyldig må x1 bli veldig høy og da vil aldri (1) eller (6) bli gyldig, vi kan derfor utelukke dette som alternativ. Dermed kan (9) utelukkes den kan ikke være en gyldig likning

Dermed har vi situasjonen

(1) X1 + X2 + Z = 27 og/eller (6) X1 * X2 * Z = 27
(2) X2 + X3 + Z = 60 og/eller (7) X2 * X3 * Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43 og/eller (8) X3 * X4 * Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34
(5) X5 + X1 + Z = 99 og/eller (10)X5 * X1 * Z = 99



Fra (4) som vi nå vet er gyldig nå har vi x5 = 34-z-X4
For at (5) skal være gydlig har vi dermed 34-z-X4 +X1 +z = 99 -> X1 - X4 = 65 -> X1 = 65 +X4. Siden enten (1) eller (6) må være gydlige kan ikke det stemme, vi ser dermed at (10) må være gyldig

Dermed har vi situasjonen

(1) X1 + X2 + Z = 27 og/eller (6) X1 * X2 * Z = 27
(2) X2 + X3 + Z = 60 og/eller (7) X2 * X3 * Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43 og/eller (8) X3 * X4 * Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34
(10)X5 * X1 * Z = 99



Går tilbake til (8) som vi så på tidligere, z= 1 der gir X3*X4 = 34 -> X3 = 34/X4 -> X4 = 34 og x3 =1 ELLER x4 = 17 og x3 =2. X4 = 34 gjør at (4) blir ugyldig så det er ikke et gyldig alternativ så
x4 = 17 og x3 = 2 er eneste mulighet dersom (8) skal være gyldig. Dersom det er tilfellet har vi i (4): 17 + X5 + 1 = 34 -> X5 = 16. Men x5 = 16 og z=1 gjør at likning (10) blir ugyldig, dermed er det klart at (8) er ugyldig

Dermed har vi situasjonen

(1) X1 + X2 + Z = 27 og/eller (6) X1 * X2 * Z = 27
(2) X2 + X3 + Z = 60 og/eller (7) X2 * X3 * Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34
(10)X5 * X1 * Z = 99


Eliminerer litt flere gale Z verdier som viser seg å ikke gi gyldige svar gitt likningene vi har, en må prøve seg frem litt og eliminere og prøve forskjellige av de tilhørende X verdiene vi fant tidligere, tilslutt ender vi opp med å prøve at at
z=1 og X1 = 9 , det gir x5 = 11, det gir x4 = 22, det gir x3 = 20, det gir x2 = 3

(6) X1 * X2 * Z = 27
(7) X2 * X3 * Z = 60
(3) X3 + X4 + Z = 43
(4) X4 + X5 + Z = 34
(10)X5 * X1 * Z = 99

------------------------------------------------------------------
9 * 3 * 1 = 27
3 * 20 * 1 = 60
20 + 22 + 1 = 43
22 + 11 + 1 = 34
11 * 9 * 1 = 99

----------------------------------------------------
Og det viser seg at disse 6 variablene gir gyldige svar på 5 av likningsparene våre.
Svar