matematikk.net

Hvor langt er distansen fra midterste punkt i en trekant til kantene?

Denne distansen, som tilsvarer radien [tex]R[/tex] i en trekants omskrevne sirkel, er gitt ved formelen

[tex]R \;=\; \frac{abc}{4\sqrt{p(p \:-\: a)(p \:-\: b)(p \:-\: c)}}[/tex]

der [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] er trekantene sider og [tex]p \:=\: {\textstyle \frac{1}{2}(a \:+\: b \:+\: c)}.[/tex]

Vil bare spesifisere at "midterste punkt i en trekant" kan være litt av hvert, i alle fall slik jeg har forstått det. Se Wikipedias side om trekanter (på engelsk) så skjønner du sikkert.

Er selve definisjon på "midterste punkt i en trekant" det samme som senteret i den omskrevne sirkelen?

Hvis "det midterste punktet i en trekant" skal være et endydig definert punkt, er det rimelig å anta at det er trekantens tyngdepunkt. Dette er entydig gitt som det felles skjæingspunktet for midtnormalene til trekantens sider. Tyngdepunktet ligger altså i samme avstand fra trekantens hjørner, og er således sentrum for trekantens omskrevne sirkel.

Solar Plexsus skrev:Denne distansen, som tilsvarer radien [tex]R[/tex] i en trekants omskrevne sirkel, er gitt ved formelen

[tex]R \;=\; \frac{abc}{4\sqrt{p(p \:-\: a)(p \:-\: b)(p \:-\: c)}}[/tex]

der [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] er trekantene sider og [tex]p \:=\: {\textstyle \frac{1}{2}(a \:+\: b \:+\: c)}.[/tex]

Ok, så distansen som tilsvarer radien i en trekants omskrevne sirkel, kan vel også skrives som

[tex]R \;=\; \frac{abc}{4A}[/tex]

der A er trekantens areal gitt ved Herons formel.

se på

[url]
http://www.lemza.com/trekant1.jpg

Det såkalte "moteksemplet" signaturen "erindi" henviser til, stemmer faktisk overens med formelen

[tex](1) \;\;\; R \;=\; {\small \frac{abc}{4A}}[/tex].

I dette eksemplet har vi en likesidet trekant med sider av lengde [tex]a = 4.[/tex] Så her er [tex]A = \sqrt{3}a^2/4[/tex], hvilket betyr at

[tex](2) \;\;\; R \;=\; \frac{a^3}{\sqrt{3}a^2} \;=\; \frac{a}{\sqrt{3}}.[/tex]

iht. formelen (1).

Anvender vi figuren i eksemplet, ser vi at [tex]R[/tex] er [tex]{\small \frac{2}{3}}h,[/tex] der [tex]h[/tex] er høyden i trekanten. Nå er[tex]h \,=\, {\small \frac{\sqrt{3}a}{2}}.[/tex] Så ifølge figuren er

[tex]R \;=\; {\small \frac{2}{3}}h \;=\; {\small \frac{2}{3} \: \cdot \: \frac{\sqrt{3}a}{2}} \;=\; \frac{a}{\sqrt{3}},[/tex]

som jo er det samme som utregningen i (2) vha. av formelen (1) gir.

ENIG,
Derfor skjønte jeg ikke hvorfor erindi svarte, det er feil...