matematikk.net

Hei....
jeg lurte bare på om det var noen som kunne si meg hvorfor formelen for å finne volumet i en kule er: 4/3 [symbol:pi] r³

Her står det litt.

Volumet av en kule er lett å regne ut ved hjelp av enkle integrasjonsteknikker som du vil lære senere. Kunne sikkert gjort det, men ser ikke helt grunnen da du sannsynligvis ikke vil forstå hva jeg gjør !

hei

Jeg lurer på hvordan man regner det ut med integrasjon. Kunne du vise meg det?

Her er en forklaring på engelsk om hva man gjør.

http://mathworld.wolfram.com/Sphere.html

se likning 15-17.
Her bytter man koordinatsystem fra vanlige koordinater til sphere koordinater. Dette gjør at integrasjonsgrensene blir veldig enkle. (Man integrerer over en kube).
Når man gjør dette må man multiplisere med en "endringsfaktor" kallt Jacobi determinanten.

Kan gjøre det uten å gjøre om til såkalte sfæriske-koordinater også.



Se bort i fra de verdiene som ikke nevnes her. Jeg har brukt illustrasjonen til noe annet før..

Vi ønsker altså å integrere volumet fra -R, til R på figuren. Vi legger et koordinatsystem i sentrum, med x-akse horisontalt på figuren. Vi ser da at avstanden hele tiden fra x-aksen opp til sirkelen kan skrives som:

[tex]y = \sqrt {R^2 - x^2}[/tex]

Så skal vi altså integrere dette fra -R, til R.(vi summerer altså alle de små aralene de lager)

[tex]V = \pi*\int _{-R}^R (\sqrt {R^2 - x^2})^2 dx[/tex]

[tex]V = \pi * \int _{-R}^R (R^2 - x^2) dx[/tex]

[tex]V = 2*\pi*[R^2x - \frac {x^3}{3}]_0 ^R[/tex]

(den er symmetrisk om sentrum..)

[tex]V = 2\pi*(R^3 - \frac {R^3}{3}) = 2\pi*(\frac {2R^3}{3}[/tex]

[tex]V = \frac {4}{3}\pi R^3[/tex]

Q.E.D

Magnus:

Når du integrerer har det kommet et 2-tall foran pi. hvor kommer dette fra?

edit: tror jeg ser det. du gjør det fordi du hittil bare har sett på halve kula..