Førstederivert- Topp eller bunnpunkt

[akihc]

Jeg prøver å finne den førstederiverte til følgende funksjon for å finne topp-bunnpunkter;

[tex]f(x)=\frac{2xe^x}{x+4}[/tex]


Prøver;

[tex]f`(x)= \frac{(2xe^x) \cdot (x+4) - 2xe^x \cdot (x+4)`}{(x+4)^2}[/tex]

[tex]f`(x)=\frac{((2x)` \cdot e^x + 2x \cdot (e^x)` ) \cdot (x+4) - 2xe^x \cdot 1}{(x+4)^2[/tex]

[tex]f`(x)=\frac{(2e^x+2xe^x) \cdot (x+4)-2xe^x}{(x+4)^2}[/tex]

[tex]f`(x)=\frac{2xe^x+8e^x+2x^2e^x+8xe^x-2xe^x}{(x+4)^2}[/tex]

[tex]f`(x)=\frac{2x^2e^x+8xe^x+8e^x}{(x+4)^2}[/tex]

Topp-bunnpunkter;

[tex]f`(x)=0[/tex]

[tex]\frac{2x^2e^x+8xe^x+8e^x}{(x+4)^2}=0[/tex]

[tex]2x^2e^x+8xe^x+8e^x=0[/tex]

[tex]2x^2+8x+8=0\;[/tex]eller [tex]\; e^x=0[/tex]

e^x er større enn 0 for alle x. Dermed har vi;

[tex]2x^2+8x+8=0[/tex]

[tex]x=-2[/tex]

Et punkt;
[tex](-2,f(-2))[/tex]

Når jeg taster funksjonen i kalkulatoren , greier den ikke å finne topp-bunnpunkt i område rundt -2 .


Er det riktig førstederivert?

[meCarnival]

Ja, alt er riktig og får [tex](-2,f(-2)) = (-2, -2e^{-2}) = (-2,-0,27)[/tex]

[akihc]

Er dette et topp eller bunnpunkt?

For kalkualtoren finner ingen av de to..hmm

[mrcreosote]

Tegn grafen til funksjonen og se om det virker rimelig at det er et bunnpunkt.

Edit: Det hadde vært ålreit om du ikke endra så mye på postene dine.

[akihc]

Vel siden begge kordinatene er negative er det rimelig å tro at dette er et bunnpunkt.

Konkludert med at dette er et bunnpunkt.

Edit: Korrigering redder mine tanker.

[meCarnival]

Feil lærer du selv av og de som søker opp postene ved senere tider skjønner mindre av inneholdet når du redigerer fortløpende... Derfor man lager nytt svar for hver gang...

Gjør du feil i første post så mange komenterer og hjelper så redigerer du første post med da riktig svar så kan folk misforstå ved oppsøkning senere og dermed ikke skjønne hva som er riktig +++..

Masse grunner så la ting ligge og ikke vær redd for noe, vi er her for å hjelpe og er noen år foran deg så er bare for å hjelpe deg fremover med problemstillinger =)...

[akihc]

Er enig i hvordan postene kan oppfattes ved korrigering(men korrigering har sin grunn). Er kvalifisert til å bli over-guru og høyere.

[meCarnival]

Bare å stå på.. Kommer nok dit en dag. Vi alle har startet et sted

[mrcreosote]

Til oppgava: Fortegnet til koordinatene bestemmer ikke aleine om et punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt for en funksjon. Jeg syns fortsatt du skal tegne funksjon og finne punktet (-2,f(-2)). Hva vil det si at noe er et toppunkt? Bunnpunkt?

[akihc]

Vel, det er y verdien som gjelder. Det er den som forteller om minimal eller maksimalverdi. Finner jeg to forskjellige y verdier kan jeg fort se hvilken som er størst, den som er størst har et toppunkt rundt denne y koordinaten.Og den som er minst for y har et minimalverdi.

[mrcreosote]

Det er riktig at det er y-verdien, funksjonsverdien, som har noe å si for hva slags ekstremalpunkt vi har med å gjøre, men jeg syns fortsatt du skal gjøre som jeg sier og tegne grafen. Min erfaring er at det er mye lettere å lære matematikk med litt geometrisk forståelse.

[akihc]

Ja, for alt skjer jo i et koordinatsystem.

Jeg hadde tegnet grafen for lengst. Jeg ser at grafen begynner å vokse fra 3 .kvadranten og rundt origo og oppover.I 3 .kvadranten ligger (-2,-0,27) på grafen. Når jeg setter noen verdier for x i f`(x). Så får jeg tegnet en fortegnsskjema med skissering av grafen. Og jeg finner at når x er mindre enn -2 er y positiv.Og når x er større enn -2 er er y positiv.Når x=-2 er y lik [tex]\: -2,5 \cdot 10^{-15}[/tex]. Her burde jeg fått 0.

Førstederiverte til denne funksjonen som oppgaven nevner fant jeg ut er;

[tex]f(x)=\frac{2xe^x}{x+4}[/tex]

[tex]f`(x) =\frac{8e^x + 2x^2e^x+8xe^x}{(x+4)^2}[/tex]

Mitt sprøsmål er ;
1. Burde jeg ikke fått y=0 da jeg regnet ut f`(-2)?( Eller telles den verdien jeg kom fram til som 0?)

Isåfall får denne analysen meg til å bekrefte at det er et toppunkt, enig?

[mrcreosote]

Det ser fornuftig ut. Hvis du setter inn for hånd, ser du f'(-2)=0 og ikke bare nesten 0. Men har du et topp- eller bunnpunkt i x=-2?

[akihc]

Jeg satte f`(-2) for hånd og gjorde det igjen. Begge gangene fikk jeg verdien [tex]\: -2,5 \cdot 10^{-15}[/tex].

Jeg finner positive verdier når x større eller mindre enn -2. Da må jo det være et bunnpunkt siden grafen først vokser så minker så vokser igjen.Når den minker når den et bunnpunkt, men hvorfor får jeg ikke 0 som verdi for f`(-2) ?

[mrcreosote]

Nei, du har derivert riktig, men kan ikke tenke meg at du har fått det lille tallet uten å bruke kalkulator/data.