Bare glem denne oppgaven et øyeblikk, og la oss tenke på noe helt annet. Hvis jeg ber deg om å finne et toppunkt, da deriverer du, og setter den deriverte lik null, ikke sant?
Men se her:
[tex]f(x) = \left\{ x^2 + 2, \ \ \ x<1 \\ -2x + 5, \ x \geq 1 \right.[/tex]
Hvis du sjekker denne grafen nøye, så vil du finne ut at den
er kontinuerlig i punktet x=1, men; den er
ikke deriverbar i punktet x=1. Men grafen har likevel et toppunkt i x=1! Så altså; grafen er ikke deriverbar i punktet, altså kan man ikke tegne en entydig tangent i punktet, men det er likevel et toppunkt!
Dette forteller oss at vi ikke trenger å kunne tegne tangenter og derivere et punkt for at det skal være et toppunkt eller bunnpunkt.
Så kan vi se på oppgaven din igjen:
Du har helt rett i at den ikke er deriverbar og at du ikke kan tegne noen entydig tangent i dette punktet, men det kan likevel være et vendepunkt. Et vendepunkt er nemlig ikke definert av å være et punkt der den dobbelderiverte er lik null, men som et punkt der grafen snur fra å ha den hule siden ned, til å ha den hule siden opp. Skjønte du det?
Så derfor er det et vendepunkt i x=0, selv om du ikke kan tegne tangent. I x=2 så er det både et vendepunkt og det er mulig å tegne vendepunktstangenten.
