Cosinus-Delvis integrasjonsproblem

[Arbeider]

[tex]\: \int_\: cosx \cdot cosxdx[/tex]
[tex]u`(x)=cosx \; u(x)=sinx[/tex]
[tex]v(x)=cos x \; v`(x)=-sinx[/tex]

[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]

Bruker delvis integrasjon for [tex]\: \int\: sinx(-sinx)dx[/tex]

[tex]u`(x)=sinx \; u(x)=-cosx[/tex]
[tex]v(x)=-sinx \; v`(x)=-cosx[/tex]

Setter inn i utledning over og får;

[tex]\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx=(-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx[/tex]

Setter inn :
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-\int_\: sinx \cdot (-sinx)dx[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (-cosx) \cdot (-cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-((-sinx) \cdot (-cosx)-\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx)[/tex]
[tex]\int_\: cosxcosxdx=sinxcosx-(sinx) \cdot (cosx)+\int_\: (cosx) \cdot (cosx)dx[/tex]

Det står fortsatt + tegn slik at det ikke er mulig å flytte integralet fra høyre over til venstre siden.

Hvor er feilen?Og selv om det var et minustegn foran integralet på høyre side, hvis man da flyttet dette over til venstre skulle man fått:

[tex]2\int\: cosxcosxdx=\frac{1}{2}(sinxcosx-sinxcosx)+C[/tex]

Og det stemmer jo ikke.

Er det noe feil, hvis ja, hvordan blir det riktig?

[FredrikM]

Tror nesten jeg må kapitulere. Jeg tenkte jeg skulle prøve å gjøre oppgaven, men så viste det seg at delvis integrasjon kanskje ikke var særlig smart her. ( )

[tex]\int \cos x \cos x \, dx = \sin x \cos x +\int \sin x \sin x \, dx[/tex]

og

[tex]\int \sin x \sin x \, dx = -\cos x \sin x + \int \cos x \cos x \, dx[/tex]

Kombinerer vi disse, får vi:

[tex]\int \cos x \cos x \, dx= \sin x \cos x - \sin x \cos x + \int \cos x \cos x \, dx[/tex]

Altså

[tex]\int \cos x \cos x \, dx = \int \cos x \cos x \, dx[/tex]

Altså var vi ikke kommet noen vei.

[Markonan]

Tenkte faktisk på dette. Delvis integrasjon er jo bygget på, som du selv nevnte i en annen topic, at man skal kunne forenkle et av produktene. Det får vi jo aldri gjort her, siden cos x og sin x er uendelig ganger deriverbare. (De er jo i prinsippet polynomer av uendelig grad hvis du ser på rekke-representasjonen).

Skulle skrive et innlegg om det da jeg så du anbefalte å flytte over det ene leddet. Da tenkte jeg "Puh! Like før jeg dummet meg ut der! Er visst et triks for å løse denne".

[FredrikM]

Hehe. Smartere å la andre dumme seg ut i stedet (jeg gjør det så ofte uansett, så gjør snart ingenting)

[Arbeider]

Jeg tenkte at det ikke kunne løses ved hjelp av delvis integrasjon.

Markonan , du sier det er et triks?

[Markonan]

Nope, trikset er nok å bruke en identitet. Denne oppgaven er vel gitt for å vise at delvis integrasjon ikke alltid er utveien!

Da har vi lært noe nytt alle sammen!

[Arbeider]

Det er lurt å grave litt.