Areal-Hvorfor er metode 2 feil?

[Arbeider]

Oppgave
Finn arealet til området begrenset av [tex]\:y=x^3-x^2-4x+4 \:[/tex],x-aksen, og linjene x=0 og x=4.

Prøvde:
1.metode

[tex]\int_0^4\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{80}{3}[/tex]

2.metode

Eller må man dele opp intervallet? For fra x=1 til x=2 ligger grafen under x-aksen.

Deler man opp får man:
areal over x-akse:
[tex]A_1=\int_0^1\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{23}{12}[/tex]

areal under x-akse :
[tex]A_2=- \int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=-\frac{7}{12}[/tex]
[tex]A_2=-(-\frac{7}{12})=\frac{7}{12}[/tex]
areal over x-akse:
[tex]A_3=\int_2^4\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{76}{3}[/tex]

Samlet areal blir :
[tex]A=A_1+A_2+A_3=\frac{167}{6}[/tex]

Er 1. eller 2. riktig?

[Gustav]

Skal være

[tex]A=\int_0^4\: |x^3-x^2-4x+4|dx[/tex]

[Arbeider]

Som man ser er det to forskjellige arealer for 1.metode og 2.metode, hvilken av disse to arealene er riktig?

[meCarnival]

Blir vel riktig med metode en, men kan kjøre absoluttverdier vel...

Sjekk med geogebra, kalkis'n din ect for å se hva som er riktig...

[Arbeider]

Hvorfor er ikke metode 2 riktig?

[Emilga]

Metode 2 er riktig. Når du integrerer har arealene fortegn.

[Arbeider]

Så hvorfor får man ikke samme svar for metode 1 og metode 2 ?

[Andreas345]

[tex]\frac {76}{3}+\frac {23}{12} - \frac {7}{12}=\frac {80}{3}[/tex]

[Emilga]

Så hvorfor får man ikke samme svar for metode 1 og metode 2 ?

Fordi arealene har fortegn. Hvis arealet ligger under x-aksen trekker du det fra.

[Arbeider]

Men vi vi har regelen som sier at :

Arealet av et flatesykket under x -aksen avgrenset av grafen og linjene x=a og x=b er gitt ved ;

[tex]A=-\int_a^b f(x) dx[/tex]

For tilfellet for arealet [tex]\: A_2\:[/tex], fra metode 2 har vi;

[tex]- \int_ 1^2(x^3-x^2-4x+4)dx=[\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-2x^2+4x]^{2}_{1}=-\frac{7}{12}[/tex]

Og siden dette flatestykket ligger under x-aksen får vi på grunn av minustegnet foran integralet til å blir [tex]\: A_2=-(-\frac{7}{12})=\frac{7}{12} \:[/tex] Og ikke [tex]- \frac{7}{12}[/tex].

Fortsatt bestemt på at metode 2 er riktig?

[meCarnival]

Du kan vel bare droppe den minustegnet som du setter på selv etterpå.. Det står jo foran integralet jo?

[Arbeider]

Nei,kan ikke bare det fordi hvis man regner ut integralet uten minustegn foran integralet for flatestykker som ligger under x-aksen mellom x=1 og x=2 får man:

[tex]\int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=-\frac{7}{12}[/tex]

Siden dette flatestykket ligger under x-aksen er arealet;

[tex]A_2=-\int_1^2\: (x^3-x^2-4x+4)dx=\frac{7}{12}[/tex]

Hvordan kan dette problemet forklares?

[Justin Sane]

utifra det jeg veit, tar forbehold om feil:

et areal er et areal. det kan ikke regnes med som et negativt areal. Hvis du har et areal under x-aksen kan du snu på aksene slik at arealet blir det samme, bare over x-aksen. Det jeg ville gjort er å regne nullpunktet og ta arealet av hvert av områdene.

eks fra oppgavedatabasen kari der jeg gjorde feil:

Finn det bestemte integralet:
[tex]\displaystyle\int_{-5}^5\frac12xdx =[/tex]
Du svarte: 0


Oppgave nr. 1623 -FEIL-
Finn arealet avgrenset av x-aksen, f(x) = 0,5x, x = -5 og x = 5.
Du svarte: 0
Korrekt svar er: 12,5


arealene nuller hverandre altså ikke ut som jeg først trodde. (hvert areal er lik 6,25)

[meCarnival]

Hey, poenget er at du skal plusse sammen arealene da!

[tex]\frac%20{76}{3}+\frac%20{23}{12}%20+{(-%20\frac%20{7}{12}\)=\frac%20{80}{3}[/tex]

Så ser egentlig ikke hvor da problemet ligger lengre...

[Justin Sane]

tenker man ikke da bare for eksempel på posisjon, i forhold til tilbakelagt strekning?