Lengden og summen av to vektorstørrelser

[lodve]

Hei!



Jeg er temmelig usikker på hvordan jeg finner ut absoluttverdien til summen av a vektoren og b vektoren.

[FredrikM]

Hint:

Hva betegner størrelsen
[tex]6\cos(30)[/tex]
og
[tex]6\sin(30)[/tex]

[lodve]

Jo, ifølge fasiten sier den at absoluttverdien av summen av vektorene a og b er lik 6, og summen av vektorene a og b lik omtrent 8,2.
Det forvirrer meg litt.

[Gustav]

Jo, ifølge fasiten sier den at absoluttverdien av summen av vektorene a og b er lik 6, og summen av vektorene a og b lik omtrent 8,2.
Det forvirrer meg litt.

Poenget med oppgaven er å gi et første innblikk i den velkjente triangelulikheten:

I et metrisk rom vil for alle elementer a og b

[tex]|a+b|\leq |a|+|b|[/tex]

[lodve]

Må innrømme at jeg aldri har hørt om triangelulikheten. Er det altså en generell regel om at absoluttverdien til summen av variabelen a og b alltid er mindre eller lik summen av absoluttverdien til variabelen a og absoluttverdien til variabelen b. Det er jo åpenbart at det stemmer -
la oss si at a = -2 og b = 2
[tex] | -2 + 2| \leq |-2| + |2| [/tex]

[tex] |a + b| = \sqrt{a^2 + b^2} [/tex]
stemmer det? virker litt sært.

[Gustav]

Må innrømme at jeg aldri har hørt om triangelulikheten. Er det altså en generell regel om at absoluttverdien til summen av variabelen a og b alltid er mindre eller lik summen av absoluttverdien til variabelen a og absoluttverdien til variabelen b. Det er jo åpenbart at det stemmer -
la oss si at a = -2 og b = 2
[tex] | -2 + 2| \leq |-2| + |2| [/tex]

[tex] |a + b| = \sqrt{a^2 + b^2} [/tex]
stemmer det? virker litt sært.

Ja, det er en svært viktig ulikhet i analysen (også kjent som trekantulikheten).

Kanskje åpenbart i dette tilfellet, men prinsippet kan generaliseres til vilkårlige normer, f.eks. for sup-normen i rommet av kontinuerlige funksjoner på et intervall. Da er det hele ikke like åpenbart lenger.

Eksempel:

Definerer [tex]||f||=\sup_{x\in (0,1)}|f(x)|[/tex]

der [tex]f \in C(\langle 0,1\rangle)[/tex]

Da gjelder [tex]||f+g||\leq ||f||+||g||[/tex]

[FredrikM]

Hva menes med [tex]f \in C(\langle 0,1\rangle)[/tex]?

[Gustav]

[tex]C^k(I)[/tex] er rommet av k ganger kontinuerlig deriverbare funksjoner på intervallet I, dvs. de funksjonene hvis k-te deriverte er kontinuerlig.

Med [tex]k=0 er C^0(I)[/tex] dermed rommet av kontinuerlige funksjoner på I.

Forkortet C(I) i mitt forrige innlegg.

Når k går mot uendelig kalles funksjonene glatte.

Kilde: http://mathworld.wolfram.com/C-kFunction.html