Hei!
I en oppgave står det at
leddene i en rekke er gitt ved[tex]ai = (1/i^2) - (1)/(i+2)^2) [/tex]
jeg skal vise at summen av de n første leddene er gitt ved
[tex]Sn = 1 - (1/(n+1)^2)[/tex]
det får jeg imidlertid ikke til, jeg ser sammenhengen ved å se på S1, S2 osv..men vet ikke hvordan jeg skal gå fram for å vise det ved å bruke uttrykket for ai. Hadde satt pris på litt hint, gjerne med teskjeforklaring...tusen takk på forhånd!=)
Rekker
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Er du sikker du har skrevet av oppgaven riktig?
Jeg fikk ikke dette til å stemme i det hele tatt.
[tex]a_i = \frac{1}{i^2} - \frac{1}{(i+2)^2}[/tex]
[tex]S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Jeg fikk ikke dette til å stemme i det hele tatt.
[tex]a_i = \frac{1}{i^2} - \frac{1}{(i+2)^2}[/tex]
[tex]S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Aaaah, da gikk det opp et lys for meg.
Vagt hint først:
Vet du hva en teleskoperende rekke er?
I summetegnet, som du helt korrekt påpeker er en (stor) sigma, er bokstaven [tex]i[/tex] "indekstallet" til summen og n er den øvre grensen.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Vagt hint først:
Vet du hva en teleskoperende rekke er?
I summetegnet, som du helt korrekt påpeker er en (stor) sigma, er bokstaven [tex]i[/tex] "indekstallet" til summen og n er den øvre grensen.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
i=1 under sigmategnet betyr at vi starter fra i=1.
Det du har der er en teleskoprekke.
Her er rekken skrvet ut. Å gjøre dette er av og til veldig nyttig for å finne en sum.
[tex]\sum_{i=1}^n a_i=\frac11-\frac14+\frac14-\frac19+\frac19-\frac{1}{16}+...-\frac{1}{(n-2)^2}+\frac{1}{(n-2)^2}-\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{(n)^2}+\frac{1}{(n)^2}-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Ser du noe?![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Det du har der er en teleskoprekke.
Her er rekken skrvet ut. Å gjøre dette er av og til veldig nyttig for å finne en sum.
[tex]\sum_{i=1}^n a_i=\frac11-\frac14+\frac14-\frac19+\frac19-\frac{1}{16}+...-\frac{1}{(n-2)^2}+\frac{1}{(n-2)^2}-\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{(n)^2}+\frac{1}{(n)^2}-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Ser du noe?
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
tusen takk til dere begge to for at dere hjelper meg ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
hm..hva er ei teleskoperende rekke?
ser at leddene sletter hverandre ut og for hver del som sletter hverandre ut øker det med 1 inni parantesen inni nevneren.
siden - 1 / (n+1)^2 er det siste leddet og siden alle andre ledd sletter hverandre ut blir
Sn = 1 - (1(n+1)^2
forrsten, hvordan vet vi at det siste leddet står?
jeg greier å se mønsteret med tallene, men skjønner desverre ikke hvordan du kommer fram til uttrykkene med n. jeg tror jeg trenger å få det inn enda mere med teskje:P
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
hm..hva er ei teleskoperende rekke?
ser at leddene sletter hverandre ut og for hver del som sletter hverandre ut øker det med 1 inni parantesen inni nevneren.
siden - 1 / (n+1)^2 er det siste leddet og siden alle andre ledd sletter hverandre ut blir
Sn = 1 - (1(n+1)^2
forrsten, hvordan vet vi at det siste leddet står?
jeg greier å se mønsteret med tallene, men skjønner desverre ikke hvordan du kommer fram til uttrykkene med n. jeg tror jeg trenger å få det inn enda mere med teskje:P
Du svarer selv på hva en teleskoperende rekke er.
Det er rekker der du har ledd som går mot hverandre.
Summen S[sub]n[/sub] er summen av de n første a[sub]i[/sub] leddene:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n[/tex]
Bytter ut hvert av leddene a[sub]i[/sub] med formelen du ga over.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =(1-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \ldots - \frac{1}{(n-1)^2}) + (\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}) + (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/tex]
Kan fjerne parentesene, og ser at -1/4 går mot 1/4 og -1/9 mot 1/9 etc. Dette gjør at vi har en teleskoperende rekke.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1\;\cancel{-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\; \cancel{- \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} - \ldots \;\cancel{- \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-1)^2}} \;\cancel{- \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}} - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Og til slutt står vi igjen med formelen du nå har vist:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Det er rekker der du har ledd som går mot hverandre.
Summen S[sub]n[/sub] er summen av de n første a[sub]i[/sub] leddene:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{n-1} + a_n[/tex]
Bytter ut hvert av leddene a[sub]i[/sub] med formelen du ga over.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =(1-\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} - \ldots - \frac{1}{(n-1)^2}) + (\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}) + (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/tex]
Kan fjerne parentesene, og ser at -1/4 går mot 1/4 og -1/9 mot 1/9 etc. Dette gjør at vi har en teleskoperende rekke.
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1\;\cancel{-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}\; \cancel{- \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} - \ldots \;\cancel{- \frac{1}{(n-1)^2} + \frac{1}{(n-1)^2}} \;\cancel{- \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^2}} - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Og til slutt står vi igjen med formelen du nå har vist:
[tex]S_n = \sum_{i=1}^na_i =1 - \frac{1}{(n+1)^2}[/tex]
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu