Finne c i faktoriserbart andregradsuttrykk!

[thefly]

Hei hei.

Har et spørsmål til følgende oppgave:

"For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x^2-3x+c ?"

Jeg har funnet c = (b/2)^2 = (-3/2)^2 = 9/4.

Men fasiten sier at c er lik eller større enn 9/4. Hvorfor og hvordan vet jeg at den også kan være større?

Jeg har jo prøvd å plotte inn større verdier på kalkulatoren, men hvordan kan jeg vise og forstå dette matematisk?

[Vektormannen]

Er du kjent med at hvis et andregradsuttrykk har røttene / nullpunktene [tex]x = x_1[/tex] og [tex]x = x_2[/tex] så kan du faktorisere uttrykket til [tex](x-x_1)(x-x_2)[/tex]?

[thefly]

Ja, men jeg klarer ikke se at det hjelper meg her?

Da vil jeg sitte igjen med (x-1.5)(x-1.5)?

Jeg forstår ikke?

[Vektormannen]

Du har lyst å faktorisere et uttrykk på formen [tex]x^2 - 3x + c[/tex] til formen [tex](x-x_1)(x-x_2)[/tex].

Hvordan finner du [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex]?

[thefly]

Jeg faktoriserer ved hjelp av fullstendige kvadrater.

x^2+bx+c = (x+(b/2))^2

[Vektormannen]

Det stemmer ikke helt. Det er riktig at [tex]x^2 + bx + c = (x + \frac{b}{2})^2[/tex], men det er jo bare hvis det er bestemt at c skal være lik [tex]\left(\frac{b}{2}\right)^2[/tex]. Det står det jo ingenting om i oppgaveteksten. c kan jo være akkurat 9/4, men bare prøv med en c som er mindre enn dette, uttrykket du får da vil også la seg faktorisere.

Det oppgaven er ute etter er hvilke c-verdier du har lov å putte inn, som skal gi et uttrykk som lar seg faktorisere.

Vi bruker fullstendig kvadrats metode slik du er vant med (det er noe mer tungvint enn den kanskje mer brukte metoden som involverer "abc"-formelen):

[tex]x^2 - 3x + c\\ = x^2 - 3x + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + c\\ x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + c - \frac{9}{4}\\ = (x - \frac{3}{2})^2 + c - \frac{9}{4}\\= (x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{9}{4} - c)[/tex]

Hvordan vil du gå videre med å faktorisere? Tenk helt likt som du ville gjort om det var et litt "snillere" uttrykk.

edit: ordna litt på latex

[FredrikM]

Hint: Kvadratrotuttrykket i andregradsformelen.

[Vektormannen]

Det er allerede nevnt at andregradsformelen også er en (mye enklere) måte å gjøre det på. Men det er ikke mye mer som skal til fra der jeg stoppet ovenfor, før det blir tydelig hvilke c-verdier som er lov når man gjør det på "fullføre kvadratet"-måten.