Trenger hjelp med denne oppgaven!:)
Vi har en rett kjegle som er innskrevet i en kule med radius 2.
a) Forklar at høyden i kjegla er 4cos[sup]2[/sup]x, der vinkel x er vist på figuren.
b) Vis at volumet av kjegla er gitt ved V=[tex]\frac {64pi}{3}[/tex] cos[sup]4[/sup]x sin[sup]2[/sup]x
c) Finn det største volumet kjegla kan ha.
(Det gikk ikke å sette inn [symbol:pi] i formelen, så jeg skrev pi i stedet..)
Trigonometrioppgave
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Hva har du prøvd selv, ser du at diameteren til kula danner hypotenusen i en trekant. Klarer du å se hvordan du kan bruke dette ?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ja, selvfølgelig. Takk for hjelp!
Men videre i oppgaven skal jeg bruke lommeregner til å finne det største volumet kjegla kan ha. Hvordan skal jeg gjøre dette? Finne den største vinkelen x på en eller annen måte?
Jeg skal også bruke derivasjon til å bestemme ved regning den verdien av x som gir kjegla størst volum. Hvordan skal jeg gå frem?
Men videre i oppgaven skal jeg bruke lommeregner til å finne det største volumet kjegla kan ha. Hvordan skal jeg gjøre dette? Finne den største vinkelen x på en eller annen måte?
Jeg skal også bruke derivasjon til å bestemme ved regning den verdien av x som gir kjegla størst volum. Hvordan skal jeg gå frem?
[tex]V(x)=\frac {64\pi}{3}\cdot cos^{4}(x)\cdot sin^{2}(x) [/tex]
Deriverer:
[tex]V^{\prime}(x)=\frac{64\pi}{3}[4cos^{3}(x)(-sin(x))\cdot sin^{2}(x)+cos^{4}(x)\cdot 2sin(x)cos(x)]=\frac{64\pi}{3}[-4cos^{3}(x)sin^{3}(x)+2cos^{5}(x)sin(x)]=\frac{128\pi}{3}\cdot cos^{3}(x)sin(x)[cos^{2}(x)-2sin^{2}(x)] [/tex]
Sett [tex]V^{\prime}(x)=0[/tex]. Vi ser at [tex]cos^{3}(x)=0[/tex] eller [tex]sin(x)=0[/tex] begge gir at [tex]V(x)=0[/tex]. Dvs. vi får:
[tex]cos^{2}(x)=2sin^{2}(x)[/tex]
[tex]tan^{2}(x)=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]tan(x)=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex]
osv.
Det var det jeg kom på i farten; med forbehold om feil! (fant ut at klokka var litt mye nå.. )
Deriverer:
[tex]V^{\prime}(x)=\frac{64\pi}{3}[4cos^{3}(x)(-sin(x))\cdot sin^{2}(x)+cos^{4}(x)\cdot 2sin(x)cos(x)]=\frac{64\pi}{3}[-4cos^{3}(x)sin^{3}(x)+2cos^{5}(x)sin(x)]=\frac{128\pi}{3}\cdot cos^{3}(x)sin(x)[cos^{2}(x)-2sin^{2}(x)] [/tex]
Sett [tex]V^{\prime}(x)=0[/tex]. Vi ser at [tex]cos^{3}(x)=0[/tex] eller [tex]sin(x)=0[/tex] begge gir at [tex]V(x)=0[/tex]. Dvs. vi får:
[tex]cos^{2}(x)=2sin^{2}(x)[/tex]
[tex]tan^{2}(x)=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]tan(x)=\pm{\frac{1}{\sqrt{2}}}[/tex]
osv.
Det var det jeg kom på i farten; med forbehold om feil! (fant ut at klokka var litt mye nå.. )
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
Dette blir feil, ja. Her har du derivert et produkt ved å derivere faktorene hver for seg - du må egentlig bruke produktregelen som Lord X har gjort i sin løsning.Annika skrev:Derivere og sette dette uttrykket lik 0?
Kan hende jeg gjorde noe feil, men når jeg prøvde å derivere brukte jeg kjerneregelen og fikk [tex]\frac{-256pi}{3}[/tex] * cos[sup]3[/sup]x * sin x.
Dette ser ikke riktig ut.
Det er dessverre umulig, for [tex]\cos^2 x + \sin ^2 x = 1[/tex] for alle x. Det du dog kan gjøre er å legge merke til at det holder å maksimere [tex]\cos^2 x \sin x[/tex] og dermed slippe unna med marginalt enklere derivasjoner.Erikj skrev:Spørsmålet/oppgaven var jo bare å finne det største mulige volumet for kjegla, som man får ved å sette cos x = 1 og sin x = 1. Største volum blir
64 [symbol:pi] /3