Derivasjon, produktregelen

[ambitiousnoob]

Hei!

Sitter og klør meg litt i hodet over en oppgave her. Må innrømme at når det begynner å komme kvadratrøtter inn i oppgavene så begynner plutselig tankene om at huset kanskje hadde trengt seg en ryddings og en vask å gjøre seg gjeldende, men SÅ vanskelig kan det da ikke være, så jeg lurte på om noen kunne ta på seg oppgaven å kanskje forklare meg litt mer inngående hva som egentlig skjer i denne oppgaven:

Blir bedt om å bruke produktregelen, og den er i og for seg grei nok, men jeg roter det alikevel til:

[tex]f(x)= sqrt{x}(x^2+1)[/tex]

Første leddet går greit, deler opp i f(x)=[tex]sqrt{x}[/tex] og g(x)=[tex](x^2+1)[/tex]

Finner så [tex]f`(x)=\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex] og [tex]g`(x)=2x[/tex]


Stiller så opp oppgaven etter produktregelen;

[tex]\frac{1}{2sqrt{x}}*(x^2+1)+sqrt{x}*2x[/tex]

Her er problemet, jeg klarer ikke å se hvordan svaret blir:

[tex]\frac{5}{3}x\^frac{3}{2}+\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]


Fikk ikke til opphøyd i 3/2 men det er det som skal stå:) Noen som har lyst å ta på seg å forklare meg dette litt inngående?:)

[Vektormannen]

Du har gjort selve derivasjonen helt riktig. Resten er bare snakk om å rydde mest mulig i uttrykket etterpå (slik at det bl.a. blir enklere å bruke den deriverte til å finne ekstremalpunkter og så videre.)

Du kan begynne med å gange ut parentesen: [tex]\frac{1}{2\sqrt x} \cdot (x^2 + 1) + 2x \sqrt x = \frac{x^2}{2\sqrt x} + \frac{1}{2\sqrt x} + 2x\sqrt x[/tex].

Så kan du bruke noen potensregler for å forenkle på uttrykket litt. Kan du skrive [tex]\frac{x^2}{\sqrt x}[/tex] noe enklere? Hva med [tex]x \sqrt x[/tex]?

[ambitiousnoob]

Hei tusen takk for svaret ditt!:)

Jeg beklager men det er nok her jeg roter litt, klarer ikke automatisk å se hvordan jeg kan skrive disse uttrykkene med kvadratrøtter i enklere, har du mulighet å forklare litt nærmere?

[Vektormannen]

Det er noen potensregler som er veldig nyttige å ha styr på. De er: [tex]a^b \cdot a^c = a^{b+c}[/tex] (eller på norsk: hvis du har to potenser med samme grunntall som er ganget med hverandre, kan du skrive produktet som én potens der du legger sammen eksponentene.) Den andre regelen er: [tex]\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}[/tex]. Hvis du trener litt på slike uttrykk så går disse reglene seg sikkert av seg selv etter hvert.

Her får vi også bruk for at [tex]\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}[/tex]. Da får vi: [tex]\frac{x^2}{\sqrt x} = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}[/tex]. Så kan vi bruke regelen ovenfor til å skrive denne brøken som én potens: [tex]\frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}[/tex].

På samme måte skriver vi om [tex]x \cdot \sqrt x = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}[/tex].

Når dette er gjort, bør det gå ganske greit å samle sammen leddene og så videre.

[ambitiousnoob]

Helt supert, tusen takk for hjelpen, det var disse reglene du nevner her som var rusten ja! Takk igjen, nå skal det pugges:)

Mvh Jørgen

[korona@mattekurs.no]

= [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}*x^2+\frac{1}{2sqrt{x}}+sqrt{x}*2x [/tex]


= [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}*x^2+sqrt{x}*2x [/tex] + [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]


= [tex]\frac{x^2 + 4x^2}{2sqrt{x}[/tex] + [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]

= [tex]\frac{5x^2}{2sqrt{x}[/tex] + [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]

= [tex]\frac{5x^2. x^(1/2) }{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]

= [tex]\frac{5x^(3/2) }{2}[/tex] + [tex]\frac{1}{2sqrt{x}}[/tex]

[ambitiousnoob]

Takk for den framstillingen Korona!:) Dette forumet er jo helt glimrende! Ser det står 4.x^2 det blir vel det samme som [tex]4x^2[/tex]?

[korona@mattekurs.no]

ja