Trigonometrisk likning

[ambitiousnoob]

Hei!

Lurte på om noen kunne sett om jeg har løst denne oppgaven riktig, svaret skal ligge mellom

0, 2 [symbol:pi]

[tex]\sin (3x - \frac{\pi }{6}) = 1[/tex]

[tex]3x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k \cdot 2\pi[/tex]


[tex]x = \frac{{2\pi }}{{12}} + k \cdot \frac{\pi }{2}[/tex]

Har ikke tatt med alle mellomregningene, håper det er noenlunde forståelig, setter pris på alle innspill!:)

[mstud]

Hei!

Lurte på om noen kunne sett om jeg har løst denne oppgaven riktig, svaret skal ligge mellom

0, 2 [symbol:pi]

[tex]\sin (3x - \frac{\pi }{6}) = 1[/tex]

[tex]3x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k \cdot 2\pi[/tex]Til og med dette trinnet gjør du riktig


[tex]x = \frac{{2\pi }}{{12}} + k \cdot \frac{\pi }{2}[/tex]

[tex]3x = \frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6} + k \cdot {2\pi }[/tex]

[tex]x = \frac{2\pi }{9} + k \cdot \frac{2\pi }{3}[/tex]


Dvs. at feilene er: [tex]\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6} \not = \frac{{2\pi }}{{12}}[/tex], og når du da skal finne x må du dele alt (unntatt k som er ganget med2pi ) med 3. I tillegg er det vanlig å skrive n i stedet for k, fordi n står for alle hele tall. Siden du også har fått oppgitt at svaret skal ligge mellom 0, 2 [symbol:pi], må du til slutt finne løsningsmengden dvs. de verdiene av x som , i dette tilfellet, ligger mellom 0 og 2 [symbol:pi] ved å variere k (el. n) med hele (positive og negative) tall i det svaret jeg har for x

(så sant jeg har løst slutten riktig..)

[mstud]

(Sjekket svaret mitt i Microsoft Mathematics (freeeware) for å se at det var riktig, så jeg ikke svarte deg feil... men det var enig med meg )

[ambitiousnoob]

Hei!

Takk for svaret ditt! Hadde du hatt mulighet for å legge ut mellomregningene, jeg klarer ikke helt å se de he he:) Kanskje det kommer opp i det microsoft programmet? Kan prøve det

[mstud]

Jeg tror jeg må hå blitt negativt påvirket av matteboken min , gå fra et trinn til et annet uten å skrive hva du har gjort...


Var det mellomregningene for disse to trinnene du ville se?

[tex]3x = \frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6} + k \cdot {2\pi}[/tex]

[tex]x = \frac{2\pi }{9} + k \cdot \frac{2\pi }{3}[/tex]

Den første linjen her kom jo fram av å flytte [tex]-\frac{\pi }{6}[/tex] over til høyre side og derfor bytte fortegnet til +.

I den neste linjen summerte jeg: [tex]\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6}[/tex]
ved å gange med 3 oppe og nede i brøken [tex]\frac{\pi }{2}[/tex].

Da fikk jeg:[tex]\frac{3\pi }{6} +\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}[/tex], som jeg så forkortet ved å dele på 2 oppe og nede til:[tex]\frac{2\pi }{3}[/tex]. Så langt har jeg:[tex]3x =\frac{2\pi }{3} +k \cdot {2\pi}[/tex].

Så deler jeg begge sider på tre,:[tex]\frac {3x}3 =\frac{2\pi }{3 \cdot 3} +k \cdot \frac {2\pi}3[/tex]

og får ut den siste linjen:[tex]x = \frac{2\pi }{9} + k \cdot \frac{2\pi }{3}[/tex].

Var det dette du trengte?

[mstud]

Jeg tror jeg må hå blitt negativt påvirket av matteboken min , gå fra et trinn til et annet uten å skrive hva du har gjort...


Var det mellomregningene for disse to trinnene du ville se?

[tex]3x = \frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6} + k \cdot {2\pi}[/tex]

[tex]x = \frac{2\pi }{9} + k \cdot \frac{2\pi }{3}[/tex]

Den første linjen her kom jo fram av å flytte [tex]-\frac{\pi }{6}[/tex] over til høyre side og derfor bytte fortegnet til +.

I den neste linjen summerte jeg: [tex]\frac{\pi }{2} +\frac{\pi }{6}[/tex]
ved å gange med 3 oppe og nede i brøken [tex]\frac{\pi }{2}[/tex].

Da fikk jeg:[tex]\frac{3\pi }{6} +\frac{\pi }{6}=\frac{4\pi }{6}[/tex], som jeg så forkortet ved å dele på 2 oppe og nede til:[tex]\frac{2\pi }{3}[/tex]. Så langt har jeg:[tex]3x =\frac{2\pi }{3} +k \cdot {2\pi}[/tex].

Så deler jeg begge sider på tre,:[tex]\frac {3x}3 =\frac{2\pi }{3 \cdot 3} +k \cdot \frac {2\pi}3[/tex]

og får ut den siste linjen:[tex]x = \frac{2\pi }{9} + k \cdot \frac{2\pi }{3}[/tex].

Var det dette du trengte?

[ambitiousnoob]

Hei igjen!

Jepp, det var den mellomregningen jeg var på jakt etter..da ser jeg at tankegangen min har vært riktig, men jeg har regnet som at 2pi også stod oppå brøk, og ganget dette også opp, men det vil med andre ord si at det siste leddet det, +k(eller n) * 2pi ikke skal gjøres noe med før man skriver et svar, evt hvis det da må deles på tallet før x? Tror jeg har gått glipp av noe i boken her, men hvorfor skal man i så fall ikke regne med dette?

[mstud]

Jeg vet ikke om jeg skjønte helt hva du mener...

Men dersom du mener at k*2 [symbol:pi] ikke skal gjøres noe med når du flytter [symbol:pi] /6 over til den siden er det fordi du bare skal plusse et "tall" fra en sum, og da holder det å plusse det på et av leddene, og siden det er lettere å plusse [symbol:pi] /6 på [symbol:pi] /2 enn på k*2 [symbol:pi] , er det det vi gjør.

Dette er tilsvarende som om vi har:
3x-6=2+5/2, vi plusser bare 6 på et av leddene (ellers ville vi ha plusset på 2*6=12 istedenfor)

Når vi derimot skal dele en sum på 3, må vi dele begge leddene i summen, ellers blir det feil.

Hvis ikke det var dette du lurte på, bare fortsett å prøve å forklare meg hva problemet var!

[ambitiousnoob]

Hei!

Det var ikke akkurat det jeg mente, jeg er sikkert elendig til å forklare he he, men jeg kan føre opp slik jeg gjorde det, så ser du hvordan jeg opprinnelig tenkte :

[tex]\sin (3x - {\pi \over 6}) =1[/tex]

[tex]{\pi \over 6} = {\pi \over 2} + k \cdot 2\pi[/tex]

Flytter over (slik du òg beskriver)

[tex]3x = {\pi \over 2} + {\pi \over 6} + k \cdot 2\pi[/tex]

Så tenkte jeg at alt må opp på fellesnevner (6), at jeg da også tar med det på venstre siden av likhetstegnet, men k var jeg klar over ikke var relevant der siden det bare er "et tall". Men jeg tok også med 2pi som står helt på slutten, og ganget dette opp.Jeg ser at du ikke gjør det i mellomregningen, men deler alikevel på 3 til slutt. Så samlet jeg sammen, og delte igjen på 18x, som da stod til venstre for likhetstegnet.

Var det noenlunde forståelig forklart?

[mstud]

Da prøver jeg å forklare noe annet, og det skal jeg fortsette med til jeg har forklart deg det du egentlig vil ha forklart Det er ikke alltid så lett verken å beskrive hva en egentlig lurer på eller å vite hva en skal forklare...

Det er ikke nødvendig å sette de leddene oppå fellesnevner som ikke skal summeres sammen med [symbol:pi] /6 før evt. senere, og som du sikkert vet, jo flere "regneoperasjoner" man gjør jo større blir sannsynligheten for å gjøre minst en feil

men det skulle egentlig, dersom du gjør det riktig, gi samme svar som jeg har fått .....
Jeg får prøve og se:

[tex]3x=\frac {\pi}2 + \frac {\pi}6 + k* 2\pi[/tex]

Setter alt oppå fellesnevner 6: [tex]\frac {6*3x}6=\frac {3*{\pi}}{2*3} + \frac {\pi}6 + k* \frac{6*2\pi}6[/tex], dvs. [tex]\frac {18x}6=\frac {3\pi}{6} + \frac {\pi}6 + k* \frac{12\pi}6[/tex]

Så får vi ut:[tex]\frac {18x}6=\frac {4\pi}6 + k* \frac{12\pi}6[/tex].

Nå står alle leddene oppå 6, dermed kan vi stryke 6-tallet under brøkstreken ved å gange alt med 6, og får i så fall [tex][tex][/tex]18x=4\pi+k*12\pi.

Eventuelt kan vi hvis vi vil dele begge leddene på høyre side med [tex][tex][/tex]\frac {18}6 Og når vi deler på en brøk blir det jo det samme som å gange med brøken opp ned. Dvs. at vi ganger da begge ledd på høyre side med 6 og deler dem samtidig på 18, som jo blir det samme som å dele på 3.

Det vanlige er derimot å bare sette de nødvendige leddene oppå fellesnevner eller evt. å stryke 6-tallet slik jeg nevnte litt lenger oppe.

Håper dette var i hvert fall litt mer nyttig enn det forrige svaret mitt ...

[ambitiousnoob]

Hei igjen!

Dette var kjempenyttig, setter stor pris på at du tar deg tid til å vise dette! Og det var nyttig for det viser (heldigvis) at jeg i bunn og grunn har tenkt helt riktig, men sansynligvis rotet det til helt til slutt når jeg har regnet sammen.

MEN nå fikk jeg det heldigvis til å stemme!!:) For en god følelse he he, tror jeg har prøvd meg på noen "snarveier" som ikke har vært helt rett her tidligere, skjønner ikke helt hvordan jeg har tenkt når jeg nå ser på utregningen, men takk igjen for hjelpen!

[Nebuchadnezzar]

Forstår ikke hva dere stresser med jeg

Altså oppgaven spør oss om når

sin(noe)=1

Om vi tenker litt og titter på enhetssirkelen finner vi ut at

[tex]sin(x)=1[/tex] når [tex]x=\frac{\pi}{2}+2\pi n[/tex]

Den siste delen viser jo bare at vi går 360 grader rundt og igjen ender opp med pi halve, som er det samme som 90 grader.

Utifra dette vet vi at "noe" må være lik pi/halve. Sagt på en annen måte vi vil prøve å få "noe" til å bli pi/2 fordi da vil sinus funksjonen være lik 1.

Så da spør vi enkelt og greit, når er pi/2 lik noe?

[tex] 3x - \frac{\pi }{6} = 2\pi n + \frac{\pi }{2} [/tex]

[tex] 3x = 2\pi n + \frac{{3\pi }}{6} + \frac{\pi }{6} [/tex]

[tex] 3x = 2\pi n + \frac{{2\pi }}{3}[/tex]

[tex] x = \frac{2}{3}\pi n + \frac{{2\pi }}{9} [/tex]

[tex] x = \frac{2}{3}\pi \left( {n + \frac{1}{3}} \right) [/tex]

n`en i dette stykket gir hvor mange ganger vi går rundt enhetssirkelen.

Vi har en løsning for hver gang vi går rundt enhetssirkelen.

Så om oppgaven bad om [0,\2pi] vil vi få en løsning og det er når [tex]n=0[/tex]

Første delen er jeg bombesikker på, litt usikker på siste del, så er bare å korrigere meg. Algebraen har mstud fint korrigert på ^^

[ambitiousnoob]

Hei igjen, takk for den utledningen Nebuchadnezzar. Jeg kommer imidlertid frem til [tex]x=\frac{2\pi}{9}+n*\frac{2\pi}{3}[/tex]

EDIT: Ser at det er samme svaret ja...

Ser at du har forkortet [tex]\frac{2\pi}{9}[/tex] ned til [tex]\frac{1}{3}[/tex] i det nederste uttrykket, sikkert et dumt spørsmål men hvordan har det seg?

[Nebuchadnezzar]

Bare å gange inn i parentesen det

trakk [tex]\frac{2\pi}{3}[/tex] utenfor.

Om dette er penere/nødvendig er jo en smaksak.

[mstud]

Det vi "stresset med" var bare å vise at det også var mulig å løse oppg. slik ambitiousnoob først hadde tenkt.

Når x er i området [0,2\pi] vil det si at:

Nebuchadnezzar: det er riktig at oppgaven har en løsning når n=0, men også en løsning når n=1 og n=2.
Disse er:

n=0, [tex]x=\frac{2\pi}9 + 0[/tex] [symbol:tilnaermet] 2,09

n=1, [tex]x=\frac{2\pi}9 + 1*\frac{2\pi}3[/tex] [symbol:tilnaermet] 2,79

n=2, [tex]x=\frac{2\pi}9 + 2*\frac{2\pi}3[/tex] [symbol:tilnaermet] 4,89

De ca. tallverdiene tar jeg bare med for å vise at disse tre løsningene er alle mindre enn 2\pi, som er [symbol:tilnaermet] 6,28.

De eksakte verdiene når n=0,1 og 2 vil jeg overlate til ambitiousnoob å finne, for ellers gjør jeg kanskje litt mye av oppgaven?

EDIT: kanskje du har funnet dem allerede?