Eksponentiallikning - Trenger litt hjelp

[Bacon]

Her er problemet: [tex]e^x-e^(-x)=1[/tex]
e opphøyd i x, minus e opphøyd i minus x er lik 1

Hvordan finner jeg x?

[svinepels]

[tex]e^x-e^{-x} = 1[/tex]

[tex]\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\sinh x= \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x = \sinh^{-1}(\frac{1}{2}) = \ln(\frac{1}{2} + \sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}) = \ln(\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}}) = \ln(\frac{1+\sqrt{5}}{2})[/tex]

Det er den eneste løsningen jeg så umiddelbart. Gir nok ikke så mye mening om du ikke har lest om hyperbolske funksjoner.

[Vektormannen]

Hyperbolske funksjoner er ikke pensum på VGS. Metoden man lærer på VGS går ut på å multiplisere ligningen med [tex]e^x[/tex] slik at man får [tex]e^{2x} - 1 = e^x[/tex]. Dette er en andregradsligning med hensyn på [tex]e^x[/tex].

[Bacon]

Nå ble det plutselig greit. Takk for hjelpen!

[svinepels]

Uff. Ikke bare presenterte jeg en løsningsmetode som var utenfor pensum til underforumet, jeg klarte også miste en av de to løsningene til likningen i slengen

[Nebuchadnezzar]

To av løsningene? Jeg ser bare at du har mistet en jeg

Fin løsning uansett.

[svinepels]

[...]jeg klarte også miste en av de to løsningene til likningen[...]

Kom forøvrig til å lure på hvordan jeg klarte å miste en løsning. Hva er feil i utregningen min? Det blir vel kanskje et tema som går utover underforumets tema.

[Bacon]

Ok dette er hva jeg gjorde:

som Vektormannen sa brukte jeg andregradsformelen og fikk:

[tex]e^x=(1+sqrt{5})/2[/tex] og [tex]e^x=(1-sqrt{5})/2[/tex]

Så ganget jeg med ln på hver side:

[tex]ln{e^x}=ln((1+sqrt{5})/{2})[/tex]

=>

[tex]x=ln(1+sqrt{5})-ln{2}[/tex]

Har jeg bruk "riktig" fremgangmåte, og er svaret riktig?


I want my cookie

satser på at det er riktig