5 terninger

[Matematikatryll]

Hva er sannsynligheten for at du får sum antall øyne 25 på 5 terninger?



Dette er bare noe jeg lurer på etter jeg gjorde en oppgave med 3 terninger, med sum på 9. Derfor lurer jeg på om det er en sammenheng, altså en måte å regne på, som ikke innebærer å telle muligheter. Som blir en håpløs stor oppgave med 5 terninger.

[Solar Plexsus]

La [tex]a, b, c, d, e[/tex] være det antall øyne de fem terningene viser. Da får vi likningen

[tex]a + b + c + d + e = 25,[/tex]

der [tex]a-e[/tex] kan variere mellom 1 og 6. Antall løsninger [tex]S[/tex] av denne likningen under disse betingelsene kan beregnes ved en setning innen kombinatorikken som kalles inklusjon-eksklusjon-prinsippet:

[tex]S \;=\ C(29,25) \;-\; C(5,1) \cdot C(22,18) \;+\; C(5,2) \cdot C(15,11) \;-\; C(5,3) \cdot C(8,4)[/tex]
[tex]\;\;\;= \; 23751 \;-\; 5 \cdot 7315 \;+\; 10 \cdot 1365 \;-\; 10 \cdot 70[/tex]
[tex]\;\;\;= \; 23751 \;-\; 36570 \;+\; 13650 \;-\; 700[/tex]
[tex]\;\;\;= \; 126[/tex]

I dette regnestykket er [tex]C(n,k)[/tex] binomialkoeffisienten [tex]\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.[/tex]

Dermed blir sannsynligheten for å få summen 25 på 5 terninger

[tex]\frac{126}{6^5} \;= \; \frac{7}{432} \; \approx \; 1,62[/tex] %.