integrasjon av 1/x

[gundersen]

noen som kan forklare hvorfor dette blir ln(x) + C

jeg ser at
[symbol:integral] 1/x dx = 1 + [symbol:integral] 1/x dx om man bruker delvis integrasjon, men vil ikke dette bare bli et uendelig høyt tall til slutt?

[MatteNoob]

[tex]f(x)=\ln x[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac 1x[/tex]

[tex]F(x) = \int f\prime(x) dx = \int \frac 1x dx = \ln |x| + C[/tex]

[Vektormannen]

@ gundersen:
Nei, det vil ikke det. Hvis du har kommet frem til denne likheten så bør det ringe noen bjeller. Husk at likhetstegnet betyr at begge sidene er like (ikke at "venstre blir til høyre" eller lignende.) Så her står det faktisk at noe (integralet av 1/x) er lik seg selv + 1. Det går ikke ann. Hvis du flytter over integralet så ser du at det da står 0 = 1, og det stemmer jo ikke. Så du må altså ha gjort en eller annen feil under integrasjonen.

Men delvis integrasjon vil uansett ikke føre frem her. Man kan ikke direkte utlede at [tex]\int \frac{1}{x} dx = \ln x + C[/tex]. Faktisk er dette integralet én av definisjonene på funksjonen ln(x). Det du kan gjøre er å benytte at ln(x) er den omvendte (såkalt inversfunksjon) funksjonen til [tex]e^x[/tex]. Det kan vi uttrykke på følgende måte: [tex]e^{\ln x} = x[/tex]. Hva får du om du deriverer denne ligningen på begge sider? EDIT2: deretter kan du benytte poenget som MatteNoob kommer med over.

EDIT: svarte seint

[Nebuchadnezzar]

Stemmer ikke det gundersen sa med delvis integrasjon da?

Bare at han har glemt en konstant, flytter vi over får jo vi

C = 1 , som åpenbart stemmer. Uendelig antall delvise vil jo bare jo bare bli en høy konstant.

[Vektormannen]

Nei, det kan ikke stemme. Da får du jo 2 = 0 som heller ikke stemmer. Hvis du utfører integrasjonen med "1 * 1/x"-trikset så får du C = -1 (og 0 = 0).

[Nebuchadnezzar]

Mente C = -1 , måtte løpe til middag så fikk ikke sett skikkelig på det.