Andreordens differensiallikninger

[gundersen]

Hei igjen!
Det er et ledd i denne type oppgave jeg ikke helt skjønner.

I f.eks differensiallikningen
y´´ + 4y = 0 kan man sette y=[tex]\ {e^{rx}}\[/tex] og da får man likningen [tex] \ {r^2} + 4 = 0\[/tex]
her går ikke likningen opp siden man får ved nullpunktsformelen:
[tex] \2 \cdot \sqrt { - 1} \[/tex]

dette går opp om man løser for y ved cos(u) og sin(u), men jeg ser ikke hvorfor det akkurat går opp om man setter det tallet som står foran [symbol:rot] -1, i dette tilfellet 2 inn for u.

Når jeg starter å derivere så ser jeg jo at det går opp, men selve tankemåten her klarer jeg ikke å forstå

EDIT:
Legger til selve formelen:

hvis den karakteristiske likningen [tex]\a {r^2} + br + c = 0\[/tex] ikke har løsninger, gir andregradsformelen uttrykket [tex] \r = p + q\sqrt { - 1} \[/tex]

Differensiallikningen ay´´ +by´ + cy = 0 har da den generelle løsningen [tex] \y = {e^{px}} \cdot [C\sin (qx) + D\cos (qx)]\[/tex]

[gundersen]

av en eller annen grunn for jeg æ i stedet for a, og y blir \y? men dere skjønner vel tegninga

[Georgio]

Du må innom komplekse tall for å forklare dette. Vet ikke hvordan det er på videregående nå, men da jeg gikk der var det ikke pensum (heller ikke differensialligninger).

Hvis du bare vil forstå det nå som eksamen er rundt hjørnet, så tror jeg ikke det er verdt bryderiet. Om du derimot lurer på det ut av interesse, så anbefaler jeg å skaffe en bok som omhandler komplekse tall.

Det første du bør merke deg er at man i kompleks tallteori har definisjonen [tex] \sqrt{-1} = i[/tex]

Eulers formel sier at [tex]e^{ix} = cos x + i sin x[/tex] Uttrykket [tex]e^{ix}[/tex] er mye brukt i differensialligninger fordi det er enklere å regne med. Det vil si at når du bruker [tex]e^{rx}[/tex] i differensialligningen din så er likevel svaret ditt en funksjon som involverer cosinus og sinus. Her ligger sammenhengen du prater om. Det å si at ligningen ikke går opp pga du får negativt tall under kvadratrota er altså en sannhet med modifikasjoner.

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_formula

[gundersen]

ok, var i forhold til pensum til R2 eksamen ja. Så tror jeg bare får godta det foreløpig og heller konse på andre ting

[Bentebent]

y'' + 4y = 0
r^2 = -4
r = [symbol:rot] -1 * [symbol:rot] 4

r = 0 [symbol:plussminus] 2* [symbol:rot] -1

Da får du den generelle løsningen av diff.likningen

y = e^0x * (A*sin 2x + B*cos 2x) = A sin 2x + B cos 2x