Det dreier seg om oppgave 6.291 fra Cosinus R2, og oppgaven lyder:
Fikk den omsider till, men er ikke fornøyd med løsningen min som jeg synes er rotete og temmelig fæl.Vis ved induksjon at
[tex]n^3 - 4n + 6[/tex]
er delelig med 3 for alle naturlige tall [tex] n \ge 0[/tex]
Jeg begynner med å observere at når n=0, så er verdien 6, som åpenbart er delelig med 3. Når n=1 blir verdien 3, som jo også er delelig med 3 (:P).
Da sier jeg at
[tex]k^3-4k + 6=3q[/tex] for en gyldig verdi k.
Dette kan stilles opp slik:
[tex]k((k^2-4)) + 6 = 3q[/tex] noe som betyr at enten så er [tex]k[/tex] delelig med 3, eller så er [tex]k^2-4[/tex] delelig med 3.
Vi setter [tex]n=(k+1)[/tex].
[tex](k+1)^3 - 4(k+1)+6 = k^3 + 3k^2 - k + 3 = k(k^2 + 3k - 1) +3 =k(k^2 - 3 + 3k + 3 - 1) + 3 = k((k^2-4) + 3k + 3) + 3[/tex]
Vi kikker på den siste likheten her, [tex]k((k^2-4) + 3k + 3) + 3[/tex]. Som vi så tidligere så må enten [tex](k^2-4)[/tex] eller k være delelig med 3, noe som medfører at [tex]k((k^2-4)+3k+3))[/tex] er delelig med 3.
[tex](k+1)^2 - 4(k+1) + 6[/tex] er da også delelig med 3, og vi har bevist at [tex]n^3 - 4n + 6[/tex] er delelig med 3 for alle naturlige tall [tex] n \ge 0[/tex].
Satser på at noen har en langt smartere strategi for å gjøre dette (så lenge det jeg har gjort er korrekt), og er spent på å høre.