Induksjonsbevis

[Quent]

Jeg må ærlig innrømme at jeg ikke helt skjønner hva du mener. Har jeg ikke vist at dersom uttrykket er delelig med 3 for n=k, så er det også delelig med 3 for n=k+1? Er det ikke det jeg skal gjøre? Føler meg helt forvirra nå.

[Nebuchadnezzar]

Se igjennom algebraen min du, se hva jeg ender opp med.

Jeg ender opp med nøyaktig k + noe. Der noe er delelig med 3. Det gjør ikke du.

[Aleks855]

Jeg ender opp med nøyaktig k + noe. Der noe er delelig med 3. Det gjør ikke du.

Haha, det virka så "ædda bædda"

[Nebuchadnezzar]

Trøtt sliten, og har problemer med å formulere meg skikkelig / forklare meg skikkelig. Kan gjerne prøve du =)

http://www.youtube.com/watch?v=OO6vgKaFwGg

http://www.youtube.com/watch?v=Wz1uA2zORYg

osv

[Aleks855]

Kan se på det. Jeg har aldri hatt om bevis, men skal sjekke videoene. Virker som et aktivt emne her på forumet

[Quent]

Jeg så igjennom dette (http://sinus.cappelendamm.no/binfil/dow ... ?did=58489) og forstår nå hvordan jeg har syndet.

[Nebuchadnezzar]

For å prøve å forklare det med mine egen ord=)

Tenk deg en rekke med dominobrikker. Hver av disse dominobrikkene representerer et tall. 1 , 2 , 3 , ...

Og vi har noe vi vil sjekke om stemmer. For eksempel om n^3-4n+6 alltid er delelig på 3. La oss si at en dominobrikke faller, det betyr at for den n-verdien, så stemmer det at n^3-4n+6 er delelig på 3.

Nå er det urealistisk og sjekke hver dominiobrikke, siden det er uendelig mange av dem.

Måten vi sjekker om det stemmer for alle tallene (brikkene) er slik:

1. Vi velger ut en tilfeldig brikke (tall) og sjekker om det stemmer. Som oftest 1, men ikke nødvendigvis.

2. Vi antar at at det stemmer at vi kan velge ut en tilfeldig dominobrikke og få denne til å falle. Altså vi setter n=k. Der k er et tilfeldig tall.
Vi vet ikke om dette stemmer men vi antar det bare.

3. Nå skal vi sjekke om det stemmer for den dominobrikken etter k. Dette gjør vi med litt smart algebra. Altså n=k+1.

La oss konkret si at vi tipper at formelen stemmer for n=3. Også viser vi ved induksjon, at den stemmer for 4. Da kunne vi valgt ut n=2, og vist at den stemmer for n=3. Og indirekte har vi vist at den stemmer for alle n-verdiene.

Og dermed kan vi få alle dominobrikkene til å falle 1 for 1.

Vi kan også tenke på induksjon som trappetrinn.

Vi begynner på trappetrinn 1. Ved å vise at for eksempel at det stemmer for n=1. (Som oftest er dette det laveste trinnet)

Så antar vi at vi kan gå fra et steg opp trappen. Alle trappetrinnene er like langt fra hverandre 1 , 2 , 3 osv. Og siden vi har bevist at vi kan gå opp et trappetrinn, og alle trappetrinnene er like. Kan vi også gå opp alle trappetrinnene.

Men induksjon bygger alltid på det forrige trinnet. Vi må bruke at det stemmer for n=k. Vi må konkret oppnå akkuratt k når vi holder på å vise at det stemmer for det neste trinnet.

La oss si at vi antar at det stemmer for n=k , også oppnår vi for eksempel

3 + k

når vi skal vise at det stemmer for k+1. Dette er kun delelig på 3, dersom k er delelig på 3. Men vi vet ikke om k er delelig på 3. Vi bare antar det.

For å vise at k er delelig på 3, kan vi anta at k-1 er delelig på 3. Også oppnå at k er delelig på 3, dersom k-1 er delelig på 3. Og sånn kan vi fortsette helt til vi kommer til n=1. Som vi vet stemmer, for dette sjekket jo vi. Og heldigvis trenger vi ikke sjekke alle trinnene , fordi vi vet de er like.