Sammensatte trigonometriske likninger

[Arctagon]

Får feil svar på denne.

[tex]3\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0[/tex]

[tex]3\sqrt{1 - \cos^2 x} - \sqrt{3}\cos x = 0[/tex]

[tex](3 - 3\cos^2 x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\cos x[/tex]

[tex]\frac{3 - 3\cos^2 x}{\sqrt{3}} = \cos^2 x[/tex]

Videre ser en at dette blir bare tull.
__________________________________________________

[tex]2\sin^2 x - 3\cos x = 3[/tex]

[tex]2 - 2\cos^2 x - 3\cos x = 3[/tex]

[tex]-2\cos^2 x - 3\cos x - 1 = 0[/tex]

[tex]\cos x = -\frac{1}{2} \qquad \mathrm{v} \qquad \cos x = -1[/tex]

[tex]\underline{\underline{x = \pm 120^\circ + n \cdot 360^\circ \qquad \mathrm{v} \qquad x = \pm 180^\circ + n \cdot 360^\circ \quad , \quad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]

Ifølge fasiten, skal [tex]180^\circ[/tex] kun være positiv.
__________________________________________________

[tex]3\sin 2x - \cos 2x = 0[/tex]

[tex]\sqrt{3 - 3\cos^2 2x} = \cos 2x[/tex]

[tex]3 - 3\cos^2 2x = \cos^2 2x[/tex]

[tex]\cos^2 2x = \frac{3}{4}[/tex]

[tex]2x = \pm 30^\circ + n \cdot 360^\circ \qquad \mathrm{v} \qquad 2x = \pm 150^\circ + n \cdot 360^\circ[/tex]

[tex]\underline{\underline{x = \pm 15^\circ + n \cdot 180^\circ \qquad \mathrm{v} \qquad x = \pm 75^\circ + n \cdot 180^\circ \quad , \quad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]

Svaret er feil.
__________________________________________________

[tex]2\cos (3x - 25^\circ) = \sqrt{2}[/tex]

[tex]\cos (3x - 25^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]3x - 25^\circ = \pm 45^\circ + n \cdot 360^\circ[/tex]

[tex]\underline{\underline{x = 23.3^\circ + n \cdot 120^\circ \qquad \mathrm{v} \qquad x = -6.6^\circ + n \cdot 120^\circ \quad , \quad n \in \mathbb{Z}}}[/tex]

Fasiten får [tex]-8.3^\circ[/tex] i stedet for [tex]-6.6^\circ[/tex].

[fuglagutt]

For å ta nummer 2 først, der fasiten sier at den kun er positiv;

Dette er enkelt og greit fordi 180 og -180 grader er det samme

-----------------------------------------------------------------

På nummer 1;
Prøv å dele på cos x. (Du vil da sitte igjen med en tangens-likning)

---------------------------------------------------------------------

På nummer 3;
Gjør det samme som på nummer 1, men del på cos 2x, du vil da få en tangenslikning igjen. Husk at du vil få tan(2x)

[Brahmagupta]

I den første likningen har du gjort to regnefeil, du kan ikke gange inn 3 på den måten du har gjort under rottegnet. Du må gange med 9 siden roten av 9 er 3. I tillegg har du glemt å kvadrere roten av 3, når du kvadrerer. Retter du opp disse skulle resten være ganske greit.

[tex]3\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt3cosx[/tex] (Kvadrerer)
[tex]9(1-cos^2x)=3cos^2x[/tex] (Deler på 3)
[tex]3=4cos^2x[/tex]

Må også huske å teste løsningene på grunn av kvadreringen.

I den andre likningen er det så enkelt at pluss minus 180 er nøyaktig samme vinkel, så det er unødvendig å skrive pluss minus.

I likning 3 har du gjort samme regnefeil som i første likning, du ganger inn 3 under rottegnet direkte. Resten blir da følgefeil.

I den siste likningen tror jeg det er fasiten som er feil.

[fuglagutt]

Den siste virker som en fasitfeil der de har regnet med (3x-20) og ikke (3x-25), men om noen andre kunne sjekkregnet den hadde det vært flott

[Aleks855]

For å ta nummer 2 først, der fasiten sier at den kun er positiv;

Dette er enkelt og greit fordi 180 og -180 grader er det samme

-----------------------------------------------------------------

På nummer 1;
Prøv å dele på cos x. (Du vil da sitte igjen med en tangens-likning)

---------------------------------------------------------------------

På nummer 3;
Gjør det samme som på nummer 1, men del på cos 2x, du vil da få en tangenslikning igjen. Husk at du vil få tan(2x)

Vet ikke om jeg er helt enig i tipsene. Det er VELDIG skummelt å dele på en variabel eller en variabelfunksjon, da dette i mange tilfeller fjerner mulige løsninger, og svaret kan bli mangelfullt. Her er det nok omskriving som råder.

Eksempel: [tex]sinx = cosx[/tex]
Deler vi på [tex]cosx[/tex] her får vi [tex]tanx=1[/tex] som gir andre løsninger. Fordi hva skjedde med [tex]cosx = 0[/tex]? Det ble plutselig en umulighet, fordi [tex]cosx[/tex] ligger i nevner.

Det beste er nok å omskrive funksjoner. For eksempel kan [tex]sinx[/tex] skrives som [tex]cos(\frac{\pi}{2}-x)[/tex]

Dette vil medføre litt mer utregning, men man risikerer ikke mangelfulle svar.

[Vektormannen]

Det er ikke noe problem å dele på cos x hvis man først sjekker om cos x = 0 gir x-verdier som løser ligningen. Her ser man fort at det ikke går siden sin x = [symbol:plussminus] 1 når cos x = 0. Hvis man da fortsetter med å anta at cos x ikke er 0, så er ligningen helt ekvivalent med tan x = 1. Om dette gir noe enklere regning spørs vel heller, så det blir vel en smakssak. Men som du sier er det viktig å ikke bare dele på cos x helt blindt.

[fuglagutt]

For å ta nummer 2 først, der fasiten sier at den kun er positiv;

Dette er enkelt og greit fordi 180 og -180 grader er det samme

-----------------------------------------------------------------

På nummer 1;
Prøv å dele på cos x. (Du vil da sitte igjen med en tangens-likning)

---------------------------------------------------------------------

På nummer 3;
Gjør det samme som på nummer 1, men del på cos 2x, du vil da få en tangenslikning igjen. Husk at du vil få tan(2x)

Vet ikke om jeg er helt enig i tipsene. Det er VELDIG skummelt å dele på en variabel eller en variabelfunksjon, da dette i mange tilfeller fjerner mulige løsninger, og svaret kan bli mangelfullt. Her er det nok omskriving som råder.

Eksempel: [tex]sinx = cosx[/tex]
Deler vi på [tex]cosx[/tex] her får vi [tex]tanx=1[/tex] som gir andre løsninger. Fordi hva skjedde med [tex]cosx = 0[/tex]? Det ble plutselig en umulighet, fordi [tex]cosx[/tex] ligger i nevner.

Det beste er nok å omskrive funksjoner. For eksempel kan [tex]sinx[/tex] skrives som [tex]cos(\frac{\pi}{2}-x)[/tex]

Dette vil medføre litt mer utregning, men man risikerer ikke mangelfulle svar.

Ser selvfølgelig tankegangen din her, og er fullt mulig at man kan få mangelfulle svar. Men eksempelet ditt; [tex]sinx = cosx[/tex] vil vel kun få løsningene x=45 grader og x = 135 grader? Det samme gjelder tanx = 1.

Har mest sannsynlig ikke kommer langt nok til å finne oppgaver der å dele på [tex] cosx [/tex] gir mangelfulle svar. Har du noen eksempeler?

[Aleks855]

Beklager dårlig eksempel, men det er sent på natta

Her er et eksempel der jeg gjorde det selv, og fikk feil svar.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ele+++cosx

Her er det litt mer forklaring på det.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ele+++cosx



Dette er ei lekse jeg lærte på den harde måten selv. Noen ganger går det fint, men andre ganger mister man løsninger, eller ender opp med flere.